北师大版数学七下高频考点突破练习专题02 整式乘法（2份，原卷版+解析版）

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1．（2021·江苏鼓楼·）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接运用同底数幂乘法公式计算即可．
【详解】解：．故选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，掌握并灵活利用是解答本题的关键．
2．（2021·山东大学附属中学其他）若2x＝4，2y＝5，则2x+y＝_____．
【答案】20
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得出答案．
【解析】解：∵2x＝4，2y＝5，∴2x+y＝2x×2y＝4×5＝20．故答案为：20．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，用了整体代入思想．
3．（2021·漳州市普通教育教学研究室）若，，则___．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】根据幂的乘法运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】解：∵，∴∴故答案为：
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算机存储设备中常用等作为储存容量的单位，例如，老师常用的U盘的容量是，一张比较清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到，那么它的容量是（ ）个B．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由单位互化可得：大化小，用乘法，从而可得：，再利用同底数幂的乘法可得答案．
【详解】解：故选：
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
5．（2021·山东青岛·七年级期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是______．
【答案】2
【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少．
【详解】∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，
可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，
∵2017÷4=504余1，∴的末位数字与相同，即为3，
∵，2024÷4=506，∴的末位数字与相同，即为1，
∴的末位数字=3-1=2，故答案为：2.
【点睛】本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律．
6．（2021·苏州市工业园区第一中学七年级月考）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m×10n＝ ．（m，n均为正整数）
（2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．
【答案】（1）1010，10m+n；（2）①1.8×109；②-1.28×1010
【分析】（1）根据所给式子进行猜想即可；
（2）①由（1）的猜想进行计算即可；②由（1）的猜想进行计算即可．
【详解】解：（1）∵10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105
∴106×104＝1010，10m×10n＝10m+n 故答案为：1010，10m+n
（2）①（1.5×104）×（1.2×105）=1.5×1.2×104×105=1.8×109
②（﹣6.4×103）×（2×106）=﹣6.4×2×103×106=-12.8×109=-1.28×1010
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，正确得出运算规律是解答本题的关键．
题型2 幂的乘方及其逆用
1.（2021·贵州铜仁·七年级期末）已知2m＝a，16n＝b，则23m+8n＝_______（用含a、b的式子表示）．
【答案】a3b2
【详解】利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算法则进行变形计算求解．
【解答】解：原式＝23m•28n＝（2m）3•（24）2n＝（2m）3•（16n）2＝a3b2，故答案为：a3b2．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
2．（2021·全国八年级课时练习）（1）若，则________；（2）若，则________．
【答案】6 25
【分析】（1）根据幂的乘方及同底数幂乘法计算；（2）根据幂的乘方逆运算解答．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，∴，解得x=6，故答案为：6；
（2）∵，∴，故答案为：25．
【点睛】此题考查整式乘法的计算公式，幂的乘方及逆运算，同底数幂乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键．
3．（2021·武汉一初慧泉中学）计算： ___________；
【答案】a18
【分析】先根据积的乘方的计算法则计算，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：== =． 故答案为．
【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2021·天津育贤中学八年级期中）已知x2n＝3，求（x3n）2﹣3（x2）2n的结果（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算的计算法则求解即可．
【详解】解：（x3n）2﹣3（x2）2n＝（x2n）3﹣3（x2n）2＝33﹣3×32＝27﹣27＝0，故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和幂的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
5．（2021·江苏姑苏·苏州草桥中学七年级月考）（1）已知：，求的值．
（2）已知n为正整数，且，求的值．
【答案】（1）16；（2）32．
【分析】（1）逆运用幂的乘方公式给所求代数式适当变形后将直接代入计算即可；
（2）运用幂的乘方公式给所求代数式适当变形后将直接代入计算即可
【详解】解：（1）∵，∴，∴；
（2）∵，∴．
【点睛】本题考查幂的乘方运算．掌握幂的乘方公式并能逆运用公式给所求代数式正确变形是解题关键．
6．（2021·江苏江都·）已知，（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）675；（2）－116
【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法及有理数的乘方进行计算即可；
（2）根据幂的乘方和有理数的乘方运算求解
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法及有理数的乘方等运算，正确的计算是解题的关键．
题型3 积的乘方及其逆运算
1．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）计算：（－2xy）2＝（ ）
A．4xyB．－2x2y2C．4x2y2D．－4x2y2
【答案】C
【分析】直接利用幂的乘方和积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：=，故选C．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（2021·通道侗族自治县教育科学研究室七年级期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据积的乘方的运算法则求解即可．
【详解】解：故答案为：B
【点睛】此题考查了积的乘方的运算法，积的乘方等于乘方的积；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．（2021·江苏南京·初一期中）计算：，其中，第一步运算的依据是（ ）
A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则
【答案】D
【分析】根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【解析】解：计算：，其中，第一步运算的依据是积的乘方法则．
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的运算，关键是熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
4．（2021·河北滦南·）y2m2可以改写成（ ）
A．ym+y2B．（ym）2C．ym•y2D．2ym
【答案】B
【分析】根据积的乘方法则的逆运用，即可得到答案．
【详解】解：y2m2=（ym）2，故选B．
【点睛】本题主要考查积的乘方法则的逆运用，掌握积的乘方法则是解题的关键．
5．（2021·隆昌市知行中学八年级月考）计算的结果是（ ）
A．8B．0.125C．D．
【答案】A
【分析】利用同底数幂的乘法与积的乘方的逆运算把原式化为，从而可得答案.
【详解】解： 故选：
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法与积的乘方的逆运算，掌握（为正整数）是解题的关键.
6．（2021·全国）已知，是的倒数，则________．
【答案】2020．
【分析】由是的倒数，可知，再化简代数式进行计算．
【详解】由题意知：，，
把，代入得：，故填：2020．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方法则，熟练掌握公式的正用、逆用是关键．
7．（2021·江苏江宁·七年级月考）（1）积的乘方公式：（ab）n＝ （n是正整数），请写出这一公式的推理过程．（2）计算．
【答案】（1）anbn，见解析（2）1
【分析】（1）根据乘方的定义，分式乘法法则，以及乘法的意义进行计算即可；
（2）利用幂的乘方的逆向运算及积的乘方求解即可．
【详解】解：（ab）n＝＝•＝anbn．故答案为：anbn．
（2）＝42010×＝42010×＝＝1．
【点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的乘方与积的乘方有关法则是解题的关键．
题型3 同底数幂的除法及其逆用
1．（2021·重庆八中初一期中）已知，则的值是______．
【答案】16
【分析】根据题意利用同底数幂的除法以及幂的乘方的运算法则进行变形与代入运算即可.
【解析】解：∵，，
∴，∴.故答案为：16.
【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的除法以及幂的乘方的运算法则是解题的关键.
2．（2021·上海·初一期末）下列运算正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法的性质求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解析】解：A．（a2）3=a6，故本选项错误； B．，故本选项错误；
C．a6÷a3=a3，故本选项错误；D．a2•a3=a5，故本选项正确．故选D．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解答此题的关键．
3．（2020·河北开平·初三一模）计算3n· ( )= -9n+1,则括号内应填入的式子为( )
A．3n+1B．3n+2C．-3n+2D．-3n+1
【答案】C
【解析】解：∵-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n（-3n+2），∴括号内应填入的式子为-3n+2.故选C.
4．（2021·沈阳市第一二七中学期中）若a≠0，化简下列各式，正确的个数有（ ）
（1）a0•a•a5＝a5；（2）（a2）3＝a6；（3）（﹣2a4）3＝﹣6a12；（4）a÷a﹣2＝a3；（5）a6＋a6＝2a12；（6）2﹣2÷25×28＝32；（7）a2•（﹣a）7•a11＝﹣a20
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】分别根据零整数指数幂的定义，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及负整数指数幂的定义逐一判断即可．
【解析】解：a0•a•a5＝a6，故（1）错误；（a2）3＝a6，故（2）正确；（﹣2a4）3＝﹣8a12，故（3）错误；
a÷a﹣2＝a3，故（4）正确；a6＋a6＝2a6，故（5）错误；2﹣2÷25×28＝2，故（6）错误；
a2•（﹣a）7•a11＝﹣a20，故（7）正确，所以正确的个数为3个．故选：C．
【点睛】本题考查零整数指数幂的定义，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及负整数指数幂等知识，熟练掌握法则是关键．
5．（2021·浙江金华市·七年级期中）若，，则等于（ ）
A．9B．18C．11D．14
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法法则将转化为，即可求解．
【详解】解：∵，，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法与幂的乘方法则．
6．（2021·余姚市兰江中学七年级期中）若，则________．
【答案】3
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可即可求解．
【详解】∵，∴，∴，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法的性质，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法的运算性质．
题型4幂的混合运算
解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
1．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，以及幂的乘方法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项不合题意；D．，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，以及幂的乘方法则，掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2021·湖南荷塘·七年级期末）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用积的乘方以及幂的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；C、原计算正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方以及幂的乘方运算法则、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（2021·山东济宁学院附属中学）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12B．a3•a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2
【答案】A
【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．
【详解】解：A、（a3）4=a12，故原题计算正确；B、a3•a4=a7，故原题计算错误；
C、a2+a2=2a2，故原题计算错误；D、（ab）2=a2b2，故原题计算错误；故选：A．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．
4．（2021·贵州印江·）下列计算：①x4•x4＝x16；②（－2a）2＝4a2；③（ab2）3＝ab6；④（a5）2＝a7．其中正确的有（ ）
A．①②B．②C．①③D．④
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方法则逐个解题：．
【详解】解：①x4•x4＝x8，故①错误；②（－2a）2＝4a2，故正确；③（ab2）3＝a3b6，故③错误；④（a5）2＝a10，故错误，故正确的是：②，故选：B．
【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2021·扬州市江都区实验初级中学七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2x2）3＝6x6 D．（﹣ab）2＝﹣a2b2
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、a3•a2＝a5，故A错误；B、（a2）3＝a6，故B正确；
C、（2x2）3＝8x6，故C错误；D、（﹣ab）2＝a2b2，故D错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数相乘、幂的乘方和积的乘方运算，解决本题的关键是要熟练掌握幂的运算法则．
6．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学）下列算式①22×33；②（2×62）×（3×63）；③63+63；④（22）3×（33）2中，结果等于66的有（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方分别计算即可求解．
【详解】解：①，故不符合题意；
②，故符合题意；
③，故不符合题意；④，故符合题意故选：D
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方运算，属于基础的运算求解题，难度不大．解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．有关乘方的运算需注意两点：一是乘方的本质是乘法运算；二是找准乘方的底数．
题型5 幂的运算法则与方程思想
1．（2020·江苏姑苏·苏州草桥中学初一期中）已知，求(x-1)2-3x(x-2)-4的值.
【答案】x=3，原式=-9.
【分析】首先由3x+2•5x+2=153x-4，可得3x+2•5x+2=（15）x+2=153x-4，即可得方程x+2=3x-4，解此方程即可求得x的值，然后化简（x-1）2-3x（x-2）-4，再将x=3代入，即可求得答案．
【解析】解：∵3x+2•5x+2=（15）x+2=153x-4，∴x+2=3x-4，解得：x=3，
∴（x-1）2-3x（x-2）-4=x2-2x+1-3x2+6x-4=-2x2+4x-3=-2×9+4×3-3=-9．故答案为-9．
【点睛】此题考查了积的乘方的性质与化简求值问题，熟练掌握是解题的关键.
2．（2020·江苏苏州·七年级期中）（1）已知，求x的值，（2）若，，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据幂的乘方的逆用可直接进行求解；
（2）根据积的乘方和幂的乘方的逆用可直接进行求解．
【详解】解：（1）∵，∴，∴，解得：；
（2）∵，，∴．
【点睛】本题主要考查积的乘方和幂的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方和幂的乘方的逆用是解题的关键．
3．（2021·奈曼旗第二中学期中）如果，求m和n的值．
【答案】m=3，n=2
【分析】根据积的乘方和幂的乘方即可求出结论．
【解析】解：∵∴
∴解得：即：m=3，n=2．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握积的乘方和幂的乘方是解题关键．
4．（2021·德惠市第三中学八年级月考）如果，则_______．
【答案】15
【分析】根据积的乘方和幂的乘方求出m，n的值，代入即可求出．
【详解】∵(2ambn)3=8a9b15，∴3m=9，3n=15∴m=3，n=5∴mn=15故答案为：15
【点睛】此题考查的是积的乘方和幂的乘方运算性质，掌握积的乘方和幂的乘方法则是解题关键．
5．（2021·河南八年级月考）规定，求：
（1）求；（2）若，求x的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据规定即可完成；（2）根据规定及幂的运算，可得关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1），；
（2），，则，解得：．
【点睛】本题是新定义运算问题，考查了同底数幂的运算，解方程等知识，理解新定义运算是解题的关键．
6．（2021·全国初一课时练习）若an+1•am+n＝a6，且m﹣2n＝1，求mn的值．
【答案】mn＝3．
【分析】根据an+1•am+n＝a6，可得m+2n＝5，然后与m﹣2n＝1联立，解方程组即可．
【解析】解：由题意得，an+1•am+n＝am+2n+1＝a6，则m+2n＝5，
∵，∴，故mn＝3．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组是解答本题的关键．
7．（2021·浙江杭州·七年级期中）若，则的值是（ ）
A．B．16C．20D．24
【答案】C
【分析】根据乘方、幂的乘方的性质，通过列一元一次方程并求解，再根据代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵∴ ∴ ∴ ∴ ∴
∴故选：C．
【点睛】本题考查了乘方、幂的乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
题型6 利用幂运算比较大小.
1．（2020·苏州新草桥中学七年级月考）已知，把a，b，c从小到大排列__________________．（用“＜”连接）
【答案】
【分析】首先利用幂的性质将原式都变为指数相同的数，进而比较底数即可．
【详解】∵，，，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方运算及逆运算，正确利用幂的性质将原式都变为指数相同的数是解题关键．
2．（2020·山东中区·初一期末）已知则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把a，b，c化成以3为底数的幂的形式，再比较大小.
【解析】解：故选A.
【点睛】此题重点考察学生对幂的大小比较，掌握同底数幂的大小比较方法是解题的关键.
3．（2021·全国）比较大小：（1）比较和的大小；（2）已知、为正数，且，，试比较、的大小．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据，，从而比较大小即可；
（2）由，，可以得到，，由此求解即可．
【详解】解：（１）∵，，
∴，∴；
（2）∵，，∴，，∴，
又∵a、b都是正数∴．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方，实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．（2021·四川省内江市第六中学八年级开学考试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可．
【详解】解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511，
而125＜243＜256，所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444．故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）．
5．（2021·杭州绿城育华学校七年级月考）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则下列关系中正确的是（ ）
A．b＞c＞aB．a＞c＞bC．a＞b＞cD．a＜b＜c
【答案】C
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵a=8131=3124，b=2741=3123，c=961=3122，∴a＞b＞c．故选：C．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
6．（2021·河北衡水市·八年级期末）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【详解】解： ， ， ，
∵a、b、c的底数相同，∴a＞b＞c．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．
题型7 利用幂运算进行代数式表示
1．（2020·汉中市杨河学校初一月考）按题目要求计算：
（1）已知，求的值；（2）已知、，用含有、的式子表示．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将已知变形为，再将化为底数为2的形式，然后将代入求值即可；
（2）将化为，然后代入求解即可．
【解析】（1）∵，∴，∴；
（2）．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则并灵活运用幂的乘方和积的乘方的逆运算是解答本题的关键．
2．（2021·山东寒亭·七年级期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将所给出的条件式进行变形得出答案．
【详解】解：∵，，，∴，，，
∵ ，即∴故选：A
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
3．（2021·江苏南京钟英中学）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果，求x的值；（2）如果，求x的值；
（3）若，，用含x的代数式表示y．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；（2）利用积的乘方逆运算解答；
（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为，，即可得到x与y的关系式，由此得到答案．
【详解】解：（1）∵，∴，∴，解得；
（2）∵，∴，，，；
（3）∵，，∴，，
∴，∴．
【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键．
4．（2020·江苏高港实验学校初一期中）若3x+1=27，2x=4y﹣1，则x﹣y=___________________．
【答案】0
【分析】首先化成同底数可得x+1=3,x=2y-2,解方程可得x、y的值,进而可得答案.
【解析】由题意得:27=33,4=22，∴x+1=3,x=2y-2,解得:x=2,y=2, x-y=0.故答案为：0.
【点睛】此题考查同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则.
5．（2021·浙江八年级期末）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设．现给出三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．
【详解】解：∵，∴n=1+m，m=n-1，
∵，∴p=1+n=1+1+m=2+m，
①m+p=n-1+1+n=2n，故正确；②3m+n=3（p-2）+p-1=4p-7，故错误；
③===3，故正确；故选B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型．
题型7 与幂运算有关的新定义
1．（2021·仪征市第三中学）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，16）＝ ，（2，16）＝ ．
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【答案】（1）3，2，4；（2）详见解析
【分析】（1）由题意直接根据规定的两数之间的运算法则进行分析即可解答；
（2）由题意根据积的乘方法则，结合定义进行分析计算即可．
【详解】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵42＝16，∴（4，16）＝2；
∵24＝16，∴（2，16）＝4；故答案为：3；2；4；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a+b＝30，
∵3c＝30，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c
【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
2．（2021·镇江实验学校）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，则，
故，
则，即．
（1）根据上述规定，填空：______；______；．
（2）计算_________，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立．
【答案】（1）-2，0，2；（2）（5，14）；（3）见解析
【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；
（2）设（5，2）=x，（5，7）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；
（3）设（2n，3n）=x，于是得到（2n）x=3n，即（2x）n=3n根据“雅对”定义即可得到结论．
【详解】解：（1）∵2-2=0.25，∴（2，0.25）=-2；
∵50=1，∴（5，1）=0；∵24=16，∴（2，16）=4，
故答案为：-2，0，2；
（2）设（5，2）=x，（5，7）=y，则5x=2，5y=7，∴5x+y=5x•5y=14，
∴（5，14）=x+y，∴（5，2）+（5，7）=（5，14），故答案为：（5，14）；
（3）设（2n，3n）=x，则（2n）x=3n，即（2x）n=3n，
所以2x=3，即（2，3）=x，所以（2n，3n）=（2，3）．
【点睛】此题考查了有理数的运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，弄清题中的新运算是解本题的关键．
3．（2021·河南金水·）如果那么我们规定．例如；因为所以．
（1）根据上述规定填空：__ ，__ ，__ ；
（2）若．判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；理由见解析．
【分析】（1）根据代入数运算即可；（2）根据题意列出等式求解即可．
【详解】
因为，
，，．
【点睛】此题考查了新定义问题和同底数幂的乘法结合问题，解题的关键是根据题意列出等式．
4．（2021·安徽安庆·七年级期末）规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以
（1）根据上述规定，填空：= ；= ， ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，．小明给了如下的证明：设，所以，所以,请根据以上规律：计算：．（3）证明下面这个等式：．
【答案】（1）3，0，-2；（2）0；（3）见解析
【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；（2）可转化为，，可转化为，，从而可求解；（3）设，，则，，从而可得，得，即有，从而得证．
【详解】（1）解：，；，；
，．故答案为：3，0，；
（2）解：，，，，，，；
（3）证明：设，，则，，
，，，，，
又，，，，，
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么＝_______，＝_______．
【答案】 kn+1010
【分析】根据h（m+n）=h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴===，
∵，
==
=kn•k1010=kn+1010，故答案为：，kn+1010．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
6．（2021·镇江市外国语学校七年级月考）一般地，n个相同的因数a相乘；记为；如，此时；3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．（1）计算下列各对数的值：______；_______；_______；
（2）你能得到、、之间满足怎样的关系式：_______；
（3）由（2）的结果，请你归纳出、、之间满足的关系式：_________，
（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．
【答案】（1）2，4，6；（2）lg24+lg216=lg264；（3）lgaM+lgaN=lga（MN）；（4）见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：根据4×16=64，可判断lg24+lg216=lg264；
（3）由特殊到一般，得出结论：lgaM+lgaN=lga（MN）；
（4）首先可设lgaM=b1，lgaN=b2，再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．
【详解】解：（1）∵22=4，∴lg24=2，∵24=16，∴lg216=4，∵26=64，∴lg264=6；
（2）∵4×16=64，∴lg24+lg216=lg264；
（3）由题意可得：lgaM+lgaN=lga（MN）；
（4）证明：设lgaM=x，lgaN=y，则ax=M，ay=N，
∴MN=ax•ay=ax+y，∴x+y=lga（MN）即lgaM+lgaN=lga（MN）．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法应用，本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
题型8 整式乘法基本运算
解题技巧： p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
1．（2021·广东揭阳市·七年级期末）计算：__________________
【答案】
【分析】根据单项式乘以单项式运算法则，系数与系数相乘，相同字母的指数相加即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．（2021·江苏七年级期中）化简：（﹣3x2）•（4x﹣3）＝___．
【答案】﹣12x3+9x2
【分析】直接利用单项式乘以多项式的计算法则求解即可.
【详解】解：，故答案为：.
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握单项式乘以多项式的计算法则.
3．（2021·东平县实验中学月考）若，则=_____________，=____________．
【答案】-3，-10
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
【详解】解：已知等式整理得：，则，，故答案为：-3，-10．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2021·江苏常州市·常州实验初中七年级期中）若（x+2）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣2，则m+n＝（ ）
A．4B．6C．2D．﹣4
【答案】A
【分析】利用多项式乘多项式法则展开，比较等号两边未知数的系数，列出关于m，n的方程组，即可求解．
【详解】解：解：∵（x+2）（2x﹣n）=2x2-nx+4x-2n，
又∵（x+2）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣2，∴，解得：，∴m+n＝4，故选A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握多项式乘多项式法则以是解题的关键．
5．（2021·太原市·山西实验中学八年级开学考试）先化简，再求值：，其中．
【答案】，－1．
【分析】先根据整式的各运算法则进行化简，再代入计算即可．
【详解】解：原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
6．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）（图1），把边长为b的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上，已知AB＝a（a＜2b），BC＝4a．
（1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积；
（2）将另一长方形BEFG放入（图1）中得到（图2），已知BE＝a，BG＝b；
①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求的值；
②若长方形PQMF的面积为2，求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）．
【答案】（1）4a2-b2；（2）①；②
【分析】（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可；（2）①用代数式表示出AG=a-b，AH=4a-b，CE =a，结合“长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍”列出等式，即可求解；②由“长方形PQMF的面积为2”，可得a=2b-2，结合影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得：阴影部分的面积=a∙4a-b2；
（2）①∵AB=a，BG=b，∴AG=a-b，∵AD=BC=4a，DH=b，∴AH=4a-b，
∵BE＝a，BC=4a，∴CE=4a-a=a，
∵长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，
∴（a-b）（4a-b）=6.5×a×（a-b），∴3a=4b，∴=；
②如图2，PQ=EF-EM=b-（a-b）=2b-a，QM=QN-MN=b-a，
∵长方形PQMF的面积为2，∴（2b-a）（b-a）=2，即：，∴a-2b=±2，
∵a＜2b，∴a-2b=-2，即：a=2b-2，
∵图2中阴影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积=（a-b）（4a-b）+a（a-b）=．
【点睛】本题主要考查几何图形与代数式，方程综合，掌握整式的混合运算，用整式表示阴影部分面积，是解题的关键．
题型9平方差与完全平方公式的基本运用
解题技巧：套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形。
完全平方公式：用
平方差公式为：，常见变化如下：
位置变化：（a+b）（－b+a）=；符号变化：（－a－b）（a－b）=－（）
系数变化：（3a+2b）（3a－2b）=
指数变化：
项数变化：（a+b－c）（a－b+c）=
连用变化：（a+b）（a－b）（）=（）（）=
1．（2020·福建省石狮市自然门学校月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式即可计算判断.
【解析】A. ，故错误； B. ，故错误；
C. 故错误； D. ，正确，故选D.
【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运用.
2．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a＋b）（a－2b） B．（a－2b）（a－2b） C．（a＋2b）（－2b＋a） D．（2a－b）（－2a＋b）
【答案】C
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2对各选项分别进行判断．
【详解】解：A、不是两数之和与两数差的积，所以选项不符合；
B、不是两数之和与两数差的积，所以选项不符合；
C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式，所以选项符合；
D、不是两数之和与两数差的积，所以选项不符合；故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．也考查了完全平方公式．
3．（2021·汕头市龙湖实验中学八年级期末）若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据平方差公式计算即可得到答案
【详解】解：∵，∴，∴．故选B．
【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．
4．（2021·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____．
【答案】10
【分析】从结论入手，用平方差公式进行因式分解，再对第一个条件进行变形即可求出答案．
【详解】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案为：10．
【点睛】此题考查了平法差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
5．（2021·成都嘉祥外国语学校七年级开学考试）若a+b＝2，a2﹣b2＝6，则a﹣b＝_____．
【答案】3
【分析】根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：∵，又，∴，故答案为3．
【点睛】本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．
6．（2021·沭阳县修远中学）先化简，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1
【答案】，
【分析】根据完全平方和平方差公式进行计算，再进行整式的加减运算，最后将字母的值代入求解即可
【详解】（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y）
当x＝2，y＝1时原式
【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，掌握整式的运算是解题的关键．
7．（2021·杭州市十三中教育集团七年级期中）先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
【答案】﹣26m2+16n2，－12
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．
【详解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2）
＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2，
∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
题型10 构造平方差公式及公式逆用
1．（2021·湖南岳阳·七年级期末）已知，则代数式的值为（ ）
A．1B．C．D．6
【答案】C
【分析】根据平方差公式解答即可．
【详解】解：∵，∴x2-y2=（x+y）（x-y）=2×（-3）=-6．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2．
2．（2021·贵州威宁·七年级期末）若，且，则等于（ ）．
A．7B．6C．5D．8
【答案】B
【分析】根据平方差公式直接可得答案．
【详解】，且故选B
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
3．（2021·南阳市第三中学八年级期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205B．250C．502D．520
【答案】D
【分析】利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，据此解答即可．
【详解】解：根据平方差公式得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．故选：D．
【点睛】本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b）是解题关键．
4．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（ ）
A．小于零B．等于零C．大于零D．大小不确定
【答案】A
【分析】根据三角形三边的关系可以得到，，即，，再根据求解即可．
【详解】解：∵a、b、c是三角形的边长，∴，，
∴，，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，平方差公式，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解．
5．（2021·广西象州·七年级期中）利用平方差公式计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据乘法结合率和有理数的乘法计算即可．
【详解】解：
=
===故选C．
【点睛】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
6．（2021·湖南涟源·七年级月考）已知，则______．
【答案】
【分析】将根据平方差公式变形，将代入即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键．
7．（2021·福建梅列·）利用乘法公式计算：（1）（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接根据平方差公式进行计算即可；
（2）将写成的性质，再利用平方差公式进行计算．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
题型11 完全平方式的应用（含参问题）
解题技巧：完全平方式的定义:对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式a22ab +b2 =(ab)2。 注意:(1)对于a2=x(x0)，a有正负两种结果。(2)区分缺首尾项和缺中间项.
1．（2021·全国八年级课时练习）与下列哪个代数式的和是完全平方式（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，故选：C．
【点睛】此题考查完全平方公式，熟记公式的构成形式是解题的关键．
2．（2021·安徽马鞍山·七年级期末）如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】是一个完全平方式，那么k=，从而可得答案.
【详解】∵是一个完全平方式∴=
∴k= 故选D
【点睛】本题考查完全平方式的定义与性质，理解什么是完全平方式是解出本题的关键．
3．（2021·广东河源·）已知多项式x2﹣2kx+16是完全平方式则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．±8
【答案】B
【分析】根据完全平方式得出，再求出答案即可．
【详解】解：多项式是一个完全平方式，
，解得：，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：和．
4．（2021·嵊州市初级中学七年级期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）．
A．B．15C．D．3
【答案】C
【分析】由题意可知首末两项是3x和5的平方，那么中间项为加上或减去3x和5的乘积的2倍即可求解．
【详解】解：∵9x2−kx+25是一个完全平方式，∴-kx=（±2）×3x×5，则k=±30．故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握并根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
5．（2021·重庆一中八年级开学考试）若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k＝___．
【答案】
【分析】根据题意直接利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解：∵，∴.故答案为：.
【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式．
6．（2020·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2，此时n=9+1=10，
218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2，此时n=2×17=34，
1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此时n=-20，
综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
题型12完全平方式的应用（知二求二）
解题技巧：用可推导除一些变式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
1．（2021·湖南宁乡·）已知，则的值（ ）
A．10B．6C．5D．3
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得到a2-2ab+b2=6①，a2+2ab+b2=4②，然后把两个等式相加即可得出结论．
【详解】解：∵(a-b)2=6，∴a2-2ab+b2=6① ∵(a+b)2=4，∴a2+2ab+b2=4②
①＋②得，2a2+2b2=10，∴a2+b2=5故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．
2．（2021·河北唐山·七年级期末）对于等式，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确是（ ）
甲：无论和取何值，等式均不能成立． 乙：只有当时，等式才能成立．
丙：当或时，等式成立．
A．只有甲正确B．只有乙正确C．只有丙正确D．三人说法均不正确
【答案】C
【分析】根据完全平方公式要使成立则，则，由此求解即可．
【详解】解：∵，∴要使得，即，
∴，∴或，故丙说法正确，故选C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．
3．（2021·郑州枫杨外国语学校七年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（ ）
A．136B．86C．36D．50
【答案】B
【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案．
【详解】解：设a=m-53，b=m-47，则ab=25，a-b=-6，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=（-6）2+50=86，∴（m-53）2+（m-47）2=86，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
4．（2021·河南八年级期末）若，则 ______．
【答案】4
【分析】观察题干易知通过因式分解凑完全平方公式即可求解．
【详解】解：，，
，易得：，，即，，，
，故答案为：4．
【点睛】本题考查因式分解的综合应用，通过观察题干凑出完全平方公式找到，是关键，再通过凑完全平方式即可解出．
5．（2021·安徽泗县·七年级期末）已知实数满足，则的值是______．
【答案】7
【分析】观察题目可知，正好符合完全平方公式的变形，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键在于能够准确观察出题目所求与完全平方公式之间的关系．
6．（2021·山东东平东原实验学校八年级月考）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（ ）
A．100B．110C．120D．125
【答案】C
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【详解】解：，，．故选：C．
【点睛】本题考查了运用完全平方公式求解，解题的关键是能灵活运用公式进行变形．
题型13 完全平方公式应用（）
1．（2021·金堂县初一月考）已知，那么+的值是______________.
【答案】3
【分析】把化为，再由+=即可求解.
【解析】∵，∴，∴，
∴+=故答案为：3.
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，根据题目的特点，正确利用完全平方公式的变形是解决问题的关键.
2．（2021·重庆北碚·初三其他）已知，则等于（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【解析】∵，∴，即，∴．故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于乘积二倍项不含字母．
3．（2021·江门市第二中学初二月考）若，则 ________________.
【答案】8
【分析】先把可化为 ，再将化为，然后代入即可解答。
【解析】解：∵可化为，化为
∴原式==32-1=8
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用。
4．（2020·四川南充·一模）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由计算出x2+=7，再由，按完全平方公式展开，代入数值即可．
【解析】解：由∴x2++2=9，∴x2+=7，
则= x2+-2=7-2=5．故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题关键是熟记公式的几个变形公式．
5．（2020·上海市久隆模范中学初一期中）已知求_________________。
【答案】47
【分析】根据已知等式两边同时除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.
【解析】∵，，∴两边同时除以x得：，即，
∴，即，∴，∴.
【点睛】本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练应用等式的基本性质及完全平方公式是解题的关键.
6．（2021·湖南双峰·七年级期中）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求和的值．
【答案】（1）45；（2）47
【分析】（1）利用完全平方公式的变形，即可求解；
（2）由得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：（1）因为，所以
又因为，，
（2）由得，即，所以，
由得，即，所以．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握，及其变形是解题的关键．
题型14 配方法的应用
解题技巧：运用一个式子求解多个未知数，考虑平方的非负性，初中阶段目前所学具有非负性的有（n为正整数).
1．（2021·四川青羊·树德中学八年级）（1）已知：a＝10000，b＝9999，求a2+b2﹣2ab﹣6a+6b+9的值．
（2）若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0．探索△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）等边三角形，理由见解析
【分析】（1）将已知代数式逆用完全平方公式进行化简计算，再将字母的值代入求解；
（2）将等式两边都乘以2，构成三个完全平方的和，再根据平方的非负性即可判断的关系，进而判断的形状．
【详解】（1）a2+b2﹣2ab﹣6a+6b+9
a＝10000，b＝9999
原式；
（2）等边三角形
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0
a、b、c为△ABC的三边．
是等边三角形．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，正确的对完全平方公式变形是解题的关键．
2．（2021·湖北武汉·八年级期末）若a＝x＋20，b＝x＋19，c＝x＋21，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝___________．
【答案】3
【分析】由已知a，b，c求出a−b，a−c以及b−c的值，原式乘以2变形，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a＝x＋20，b＝x＋19，c＝x＋21，∴a−b＝1，a−c＝−1，b−c＝−2，
原式＝（2a2＋2b2＋2c2−2ab−2bc−2ac）＝ [（a−b）2＋（b−c）2＋（a−c）2]＝3,故答案为：3．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2021·湖南双峰·七年级期中）无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．非负数B．C．正数D．负数
【答案】C
【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．
4．（2020·广西兴业·月考）代数式的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．
【解析】代数式
∵∴即代数式故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．
5．（2021·浙江东阳·七年级期末）阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，
探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为 ；当x＝2时，x2+2x+5的值为 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．
探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+l+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+的最小值为 ，这时相应的x＝ ．
根据上述探究，请解答：（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．
（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．
【答案】探究一：8，13；探究二：4，-1；（1）当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33；（2）
【分析】探究一：把x=1和x=2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案；
探究二：先将代数式x2+2x+5运用完全平方公式变形后得：（x+1）2+4，可得结论；
（1）将代数式-x2-8x+17运用完全平方公式变形后可得结论；
（2）存在A=B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值．
【详解】解：探究一：当x=1时，x2+2x+5=12+2+5=8；若x=2，x2+2x+5=22+2×2+5=13；故答案为：8，13；
探究二：x2+2x+5=（x2+2x+1）+4=（x+1）2+4，
∵（x+1）2是非负数，∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x=-1．故答案为：4，-1；
（1）∵-x2-8x+17=-（x+4）2+33，∴当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33；
（2）∵A=-x2-8x+17，B=9y2+12y+37，
当A=B时，则B-A=0，∴（9y2+12y+37）-（-x2-8x+17）=0，
9y2+12y+4+x2+8x+16=0，（3y+2）2+（x+4）2=0，∴3y+2=0，x+4=0，
∴x=-4，y=，∴x•y=-4×（）=．
【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．
6．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：
a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
【答案】（1）4；（2）M的最小值为﹣3；（3）a+b+c=.
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案；
（3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．
【解析】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2故答案为：4；
（2）M＝+2a+1＝（a2+8a+16）﹣3＝（a+4）2﹣3∴M的最小值为﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1， ，∴a+b+c=.．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
题型15 乘法公式的几何背景
解题技巧：两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
1．（2021·上海市市北初级中学七年级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）
【答案】C
【分析】第一个图形中阴影部分的面积是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【详解】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键在于能够根据题意得到两部分的阴影面积相等．
2．（2021·重庆市天星桥中学）如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中大正方形的面积为64，小正方形的面积为9．若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中x＞y），则下列关系式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别根据大正方形边长、小正方形边长的不同表示可判断A、B，由A、B结论利用平方差公式可判断C，根据大正方形面积的整体与组合的不同表示可判断D．
【详解】解：A、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+9），即4xy+9=64，故此选项正确；
B、因为正方形图案的边长8，同时还可用（x+y）来表示，故此选项正确；
C、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x-y，故此选项正确；
D、根据A、B可知x+y=8，x-y=3，则x2-y2=（x+y）（x-y）=24，故此选项错误；故选：D．
【点睛】本题主要考查根据数形结合列二元一次方程的能力，解答需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
3．（2021·无锡市天一实验学校七年级期中）（知识生成）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．
（1）如图1，根据图中阴影部分（4个完全相同的小长方形）的面积可以得到的等式是： ．
（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．
（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为： ．
（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求的值．
【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）18
【分析】（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积 即：（a+b）2-（a-b）2，又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab即可求得；（2）大正方体被切割成了8个小正方体或长方体故而求它们的体积和，再直接求大正方体的体积可解的恒等式；（3）由（2）的结论将已知代入即可求得值．
【详解】解：（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积 即：（a+b）2-（a-b）2
又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab ∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（2）∵八个小正方体或长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3
∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=（a+b）3-3a2b-3ab2=（a+b）3-3ab（a+b）
将a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33-3×1×3=18故a3+b3的值为：18．
【点睛】本题主要考查了平方差，立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解得．
4.（2021·山东商河·七年级期末）如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．
（1）用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为 （写成平方差的形式）；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为 ；（写成多项式乘法的形式）
（3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 ；
（4）拓展运用：①结合（3）的公式，计算下面这个算式：1202﹣118×122．（不用公式计算不得分）
②结合（3）的公式，先计算下面这个算式（用乘方的形式表示结果）并说出这个结果的个位数字．（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）（232+1）+1．个位数字是 ．
【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①4；②264，6
【分析】（1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于a2﹣b2．
（2）经分析，图2中长方形长为（a+b）、宽为（a﹣b）．根据长方形面积公式，得长方形面积为（a+b）（a﹣b）．（3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（4）①观察该式特点，118＝120﹣2，122＝120+2，故1202﹣118×122＝1202﹣（120﹣2）（120+2）＝4．②观察该式特点，故将该式构造为（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）（232+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（216+1）（232+1）+1＝264，故个位数字是6．
【详解】解：（1）
（2）经分析，拼接后的长方形长为（a+b），宽为（a﹣b）∴
（3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变，∴．
（4）①∵∴
②∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）（232+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）...（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1＝264
又∵2n（n为正整数）的个位数字依次是2、4、8、6、2、4、8、6...以2、4、8、6为一个循环，64÷4＝16，
∴264的个位数字是6．
故答案为：（1）a2﹣b2，（2）（a+b）（a﹣b），（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（4）①4，②6．
【点睛】此题考查了平法差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键．
5．（2021·苏州市平江中学校七年级期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论．
【详解】解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
所以，故选：C．
【点睛】此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键．
6．（2021·四川省成都市七中育才学校）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．
【答案】（1）；（2）①3；②
【分析】（1）正方形的总面积等于各部分面积和，就可得出答案；
（2）①由，可知，再代入（1）中的结论，即可求得的值；
②用换元法，令，则，，代入原式化简计算即可．
【详解】解：（1）由正方形的总面积等于各部分面积和，得到：；
（2）①∵∴
又∵，且 ∴∴
②令，则，
∴ ∴
【点睛】本题考查完全平方式的应用，平分根的运算，根据相关知识点解题是关键．
7．（2021·海口市第十四中学八年级月考）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：．
（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：
方法1：_________________； 方法2∶_________________．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式?
（3）①已知，，请利用（2）中的等式，求的值．
②已知，，请利用（2）中的等式，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）①；②1
【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可解答；
（2）根据（1）求得的结果，利用两种方法求得的阴影面积相等即可解答；
（3）①根据即可得到，由此求解即可；
②根据可得，由此求解即可．
【详解】解：（）方法1：阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和，∴阴影部分面积=；
方法2：阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形面积∴阴影部分面积=．
故答案为：，；
（）∵（1）中两种方法求得的阴影部分面积相等，∴；
（）①∵，，，
∴，∴；
②，，，
∴，∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积与大正方形的面积-小正方形的面积相等列式计算是解题的关键．
题型16 整式乘法的归纳猜想问题
1．（2021·湖南岳阳·七年级期末）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数．例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，在横线上写出展开式中的未知项，（__________）．
【答案】-4ab3
【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n-1的相邻两个系数的和，由此可得（a±b）4的各项系数的绝对值依次为1、4、6、4、1．
【详解】解：（a-b）4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4．故答案为：-4ab3．
【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
2．（2021·吉林乾安·八年级期末）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ ．（其中，n为正整数，且n≥2）
【答案】（1）a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）an﹣bn
【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果．
【详解】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．
故答案为：an﹣bn．
【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
3．（2021·江苏淮安·）你能化简吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空： ；
；
；
由此猜想： ．
（2）利用这个结论，请你解决下面的问题：
① 求 的值；
若，则等于多少？
【答案】（1），，，；（2），
【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】解：（1）：（a−1）（a＋1）＝a2−1；（a−1）（a2＋a＋1）＝a3−1；（a−1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4−1；…
由此猜想：（a−1）（a99＋a98＋a97＋…＋a2＋a＋1）＝a100−1；故答案为：a2−1；a3−1；a4−1；a100−1；
（2）①∵（2−1）（2199＋2198＋2197＋…＋22＋2＋1）＝2200−1，
∴2199＋2198＋2197＋…＋22＋2＋1＝2200−1；
②∵a8−1＝（a−1）（a7＋a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a＋1）＝0，即a8＝1，∴a＝±1，
当a＝1时，a7＋a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a＋1＝0不成立，∴a＝−1．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
4．（2021·湖南雨花外国语学校）观察下列运算
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ）
A．32022﹣1B．C．D．
【答案】D
【分析】观察一系列等式得到一般性规律，利用即可确定出所求式子的结果．
【详解】解：∵（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数），
∴（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1，∴32021+32020+…+33+32+3+1＝，
∴32021+32020+…+33+32+3＝．故选D．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够准确读懂题意．
5．（2021·湖北武汉·）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（其中为正整数）的展开式（按的降幂排列）的系数规律．例如：三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应着展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应展开式中的系数，等等．根据上面的规律，的展开式是__________________（请按的降幂排列）．
【答案】
【分析】根据材料（a+b）2=a2+2ab+b2和（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式，可直接得出的展开式，然后令a=x，b=-1即可求解．
【详解】解：∵，，
∴可以得到，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了的展开式，解题的关键在于能够掌握题目所示的规律进行求解．
6．（2021·四川龙泉驿·七年级期中）根据下列材料，解答问题．
例：求1＋3＋32＋33＋…＋3100的值．
解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100
则3S＝32＋33＋…＋3100＋3101
因此，3S﹣S＝3101﹣1，
∴S＝，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝．
（1）仿照例题，求1＋5＋52＋53＋……＋52019的值．
（2）求证：1＋3＋32＋33……＋363＝（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）．
（3）求1＋7＋72＋73＋……＋763的个位数字．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）0
【分析】（1）模仿例题计算即可；（2）分别计算出左边和右边，即可得证；（3）先探索出个位数字的循环规律，再把所有数的个位数字相加即可得到答案．
【详解】解：（1）令S=1+5+52+53+……+52019，
则5S=5+52+53+……+52019+52020，∴5S-S=52020-1，∴S=；
（2）证明：设S=1+3+32+33……+363，
则3S=3+32+33……+363+364，∴3S-S=364-1，∴S=，
设T=（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=…=（364-1），∴S=T．
（3）∵1=1，7=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，..．
∴每四个数字的末尾按1，7，9，3循环，
∵（63+1）÷4=16，∴（1+7+9+3）×16=320，∴1+7+72+73+……+763的个位数字是0．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，探索规律，探索出个位数字的循环规律是解题的关键．
题型17 整式除法基本运算
解题技巧：（pa+pb+pc）÷p=a+b=c
1．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）福州市园林局为美化城区环境，计划在一块长方形地上种植某种草皮，已知长方形空地的面积为（3a²b³-6a²b+27a³b³）平方米，宽为3ab米，则这块空地的长为_____米．
【答案】（ab2-2a+9a2b2）
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵长方形空地的面积为（3a²b³-6a²b+27a³b³）平方米，宽为3ab米，
∴这块空地的长为：（3a²b³-6a²b+27a³b³）÷3ab＝（ab2-2a+9a2b2）米．故选：（ab2-2a+9a2b2）．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2021·河南卫辉·八年级期中）如果，那么____________．
【答案】
【分析】根据整式的除法求解即可．
【详解】解：∴故答案为
【点睛】此题考查了整式的除法运算，解题的关键是熟练掌握整式除法的运算法则．
3．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：÷＝_______．
【答案】
【分析】括号的每一项除以，化简为单项式除以单项式，所得的商相加即可得出答案．
【详解】解：原式＝，＝
【点睛】本题考查了多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
4．（2021·广东南沙·八年级期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A．（2a+b2）B．（a+2b）C．（3ab+2b2）D．（2ab+b2）
【答案】A
【分析】根据多项式除单项式的运算法则计算即可．
【详解】∵（4a2b+2ab3）÷2ab＝2a+b2，∴被墨汁遮住的一项是2a+b2．故选：A．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．
5．（2022·四川仁寿·八年级期末）先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x+y）（x﹣y）﹣x（2x﹣4y）]÷（﹣2y），其中x＝2，y＝1．
【答案】x﹣4y；﹣2．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，再根据多项式除以单项式进行计算，最后代入求出答案即可．
【详解】解：[（x﹣3y）2+（x+y）（x﹣y）﹣x（2x﹣4y）]÷（﹣2y）
=（x2-6xy+9y2+x2-y2-2x2+4xy）÷（-2y）=（-2xy+8y2）÷（-2y）=x-4y，
当x=2，y=1时，原式=2-4×1=2-4=-2．
【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
6．（2022·吉林双辽·八年级期末）计算：[（2x+y）（2x﹣y）﹣5x（x+2y）+]÷（﹣3y）．
【答案】2x-y
【分析】先用平方差公式，单项式乘以多项式，完全平方公式，合并同类项计算括号里，后计算除法．
【详解】[（2x+y）（2x﹣y）﹣5x（x+2y）+]÷（﹣3y）
=[-+]÷（﹣3y）=[-6xy+]÷（﹣3y）=2x-y．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，因式分解，多项式除以单项式，熟练运用公式是解题的关键．