北师大版数学七下高频考点突破练习专题02 相交线与平行线（2份，原卷版+解析版）

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解题技巧：余角、补角、对顶角这些结论在几何计算中的应用非常广泛。邻余角、补角、对顶角在解题中常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要善于挖掘题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题得到解决。
1．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________．

2．（2021·北京通州区·首师大附中通州校区七年级期末）如图，已知射线射线，射线表示北偏西20°的方向，则射线表示的方向为（ ）
A．北偏东60°B．北偏东55°C．北偏东70°D．东偏北75°
3．（2021·四川绵阳市·七年级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON=90°．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为( )
A．35°B．45°C．55°D．65°
4．（2021·湖北随州市·七年级期末）已知，与互余，则的度数为______．
5．（2021·山西朔州市·七年级期末）如果∠l与∠2互补，∠2为锐角，则下列表示∠2余角的式子是（ ）
A．90°-∠1B．∠1 - 90°C．∠1 + 90°D．180°-∠1
6．（2021·黑龙江·七年级期中）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．（1）如图，，求∠AOC的度数．（2）如图，在（1）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，满足射线OM平分∠BOD在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与2∠EOF度数相等的角．
题型2、方程思想
性质：（1）邻补角互补； （2）对顶角相等；（3）垂线夹角为90°（4）角平分线平分角
解题技巧：若图形中角比较多，且关系难以理清晰，建议用设未知数的方法，利用上述几条性质，将图形中所有角度都用未知数表示出来，进而将角的关系转化为方程的形式求解。特别是题干中存在比例关系时，我们多用方程的方法解题。
1．（2021·浙江台州市·七年级期末）一个角的补角是它的余角的三倍，则这个角的度数为__________．
2．（2021·江苏扬州市·七年级期末）已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大20°，则∠α的度数是_____．
3．（2021·山东临沂市·七年级期末）一个角的余角是它的补角的，这个角是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·四川营山.初一期末）在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．55°C．20°或 125°D．20°或55°
5．（2020·钦州市第四中学初二月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD∶∠EOB=2∶3，求∠AOF的度数．

6．（2020·全国初一课时练习）已知，如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，：，（1）试判断OF与OE的位置关系，并说明理由．（2）求的度数．
题型3、折叠问题中角的计算
解题技巧：在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。
1．（2020·江苏秦淮·南京一中初二月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_____．

2．（2020·江苏高邮·初一期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．
3．（2020·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．

4．（2020·内蒙古临河.初一期末）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________度．
5．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．

6．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．
题型4、识别同位角、内错角和同旁内角
解题技巧：常见的识别方法有2种，具体如下
方法一、定义法：如下图：
= 1 \* GB3 ①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找
= 2 \* GB3 ②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。
内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。
同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。
方法二、像形识别法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①同位角：F = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②内错角：Z = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③同旁内角：C
1.（2021•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁内角 C．∠2和∠4是对顶角 D．∠2和∠5是内错角

2．（2021·浙江长兴·七年级期末）如图，与是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角
3．（2021·广东东莞·七年级期末）如图所示，下列四个选项中不正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是邻补角
4．（2021·山西忻州·七年级期末）如图，与是同旁内角，它们是由（ ）
A．直线，被直线所截形成的 B．直线，被直线所截形成的
C．直线，被直线所截形成的 D．直线，被直线所截形成的

5．（2021·山东郯城·七年级期末）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠2 和∠4B．∠6和∠4C．∠2 和∠6D．∠6和∠3
6．（2021·辽宁朝阳·七年级期中）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：.
试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径；
（2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？
题型5 尺规作图
1．（2020·惠州市第七中学初二月考）如图，线段交于．
（1）尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹并写出结论）（2）判断与的位置关系并说明理由；
2．（2020·广东阳山·初一期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．
3．（2020·广东省深圳市龙岗区南芳学校期中）如图，已知直线AB和点P，用尺规作直线CD，使CD//AB，且CD过点P；
4．（2020·陕西渭滨·）请按以下要求作图：如图，打台球时，小球从A点出发撞击到台球桌边CD的点O处，请用尺规作图的方法作出小球反弹后的运动方向（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．
5．（2020·广东南山·初一期中）如图，已知点为的边上一点，请在边上确定一点，使得(要求：尺规做图、保留作图痕迹、不写作法)
6．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）
题型6 平行线间距离与面积问题
解题技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
1．（2020·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·南通市通州区育才中学八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）
A．AC=BPB．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积D．△ABC的面积等于△PBC的面积

3．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
4．（2020·湖南茶陵·初一期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（ ）
A．10B．9C．8D．7

5．（2020·河北滦州·初一期中）如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，三角形的面积（ ）
A．向左移动变小B．向右移动变小C．始终不变D．无法确定
6．（2020·上海市培佳双语学校初一月考）已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型7、 证平行线的技巧
解题技巧：
1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。
2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。
1．（2020·河北宣化·初三二模）如图是某节数学课上王老师和琪琪的对话，根据对话内容，判定的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．内错角互补，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行

2．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥，能得的有_________ (只填序号)．
3．（2020·山西期末）综合与探究
问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．
问题发现：（1）如图1，当时，____________°；
（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；
拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．
4．（2020·陕西省西安市育才中学初一月考）如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．
(1)求证：AD∥BC；(2)若∠ADB=36°，求∠EFC的度数．
5．（2020·南阳市油田教育教学研究室初一期末）如图，在中，是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．
（1）求和的度数；（2）若，问：//吗，请说明理由．
6．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
题型8 平行线的性质
解题技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。
1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。
2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。
1．（2020·河南西华·初一期中）如图所示，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，过点E作EF∥AB交直线BC于点F，若∠ABC＝50°，则∠DEF的度数___．
2．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．
（1）求的度数；（2）过点作，交的延长线于点，求的度数．
3．（2020·山东安丘·东埠初中初二月考）如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于，若，，求的长
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图1，已知，，；
（1）请探索与之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：如图1，，点，分别为，上一点．
（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
6．（2020·上海静安·初一期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．
（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，
①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．
题型9、构造辅助线之添加平行线
解题技巧：1）证平行的题目，辅助线技巧比较单一，常见题型仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上
1．（2020·湖北随县·初二月考）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（ ）
A．125°B．75°C．65°D．55°
2．（2020·山东日照·二模）如图，直线，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
3．（2020·深圳市高级中学初二月考）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是( )
A．° B．° C．° D．

6．（2020·山东青岛·初一期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__ °．
7．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图所示，点，分别在，上，，，，，则，，之间满足的关系式是______．
题型10、平行线的压轴题
1．（2021·河南驻马店市·七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D．
（1）如图1，点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E，作DF//CA交AB于点F，判断∠EDF与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF//CA，∠EDF＝∠A，请你判断DE与BA的位置关系．并说明理由． （3）如图3，点D在△ABC的外部，若作DE//BA，DF//CA，请直接写出∠EDF与∠A数量关系．
2．（2020·山东临沂市河东区教育科学研究中心初一期末）（1）问题情境：如图1，，，．求度数．
小明的思路是：如图2，过点作，通过平行线性质，可得．
（2）问题迁移
（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．猜想、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出、、之间的数量关系．选择其中一种情况画图并证明．
3．（2020·北京海淀实验中学初二开学考试）已知ABCD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．
（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为 ；
（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系 ．
4．（2020·河南舞钢·初一期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．
5．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学初一月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题情境2 如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝ ．
6．（2020·洛阳市第二外国语学校初一期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．
（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．