辽宁省鞍山市普通高中2025届高三年级上学期第三次月考数学试题

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一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.6 ; 13. ；14.5x-y+2=0
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解：选条件①：；
（Ⅰ）
，
所以的最小正周期是． ………………7分
（Ⅱ）因为，
所以≤≤，
所以≤≤，
所以≤≤，
当，即时，有最小值． ………………13分
选条件②：．
（Ⅰ）
，
所以最小正周期是． ………………7分
（Ⅱ）因为，
所以≤≤，
所以≤≤，
当，即时，有最小值． ………………13分
16.（本小题满分15分）
解析：(1)证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，PE∩BE＝E，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB＝B，故EM⊥平面PBC，
EM⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC； ………………7分
(2)以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE＝EB＝2，设N(2，m,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,0,1)，
eq \(EM,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(EB,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq \(EN,\s\up6(→))＝(2，m,0)，
设平面EMN的法向量为＝(x，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(EM,\s\up6(→))＝x＋z＝0,m·\(EN,\s\up6(→))＝2x＋my＝0))，得＝(m，－2，－m)，
平面BEN的法向量为＝(0,0,1)，
故|cs〈，〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－m,\r(2m2＋4))))＝eq \f(\r(6),6)，得m＝1，
故存在N为BC的中点． ………………15分
17.（本小题满分15分）
解析：（1）由已知及正弦定理得 eq \\ac(○,1)
又 eq \\ac(○,2)
由 eq \\ac(○,1)， eq \\ac(○,2)可得
又 ………………6分
（2）的面积．
由已知及余弦定理得
又，故，
当且仅当时，等号成立．
因此的面积的最大值为 ………………15分
18.（本小题满分17分）
解：（Ⅰ）
因为，
所以曲线在点处的切线方程为. ………...….….…分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，（）
因为，令，所以或，
当时，，
则的变化情况如下表：

当时，，则 恒成立，在内恒增；
当时，，则 的变化情况如下表：
综上，当时，单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，单调递增区间是和 ，单调递减是.
………...….…………...….…11分
（Ⅲ）当时，令，得或，易知
则的变化情况如下表：
所以当时，取得极小值
由于，则，，，
所以由极小值定义及的单调性可知：当时，.
接下来，研究在的变化情况.
因为恒成立，设
对称轴，，
所以由二次函数的性质可知：当时，恒成立
所以在时恒成立.
综上所述：当时，. ………...….…………...….…分
19.（本小题满分17分）
（Ⅰ）（或 ） ………...….…………...….…分
（Ⅱ）必要性：因为 QUOTE 数列 QUOTE 是递减数列，
所以 ，
所以 是首项为，公差为的等差数列，
所以 ………...….…………...….…...…8分
充分性：由于，，…，
所以 ， 即 ，
因为 ，所以 ，，
所以数列是递减数列.
综上，结论得证． . .…...….……………...…11分
（Ⅲ）令 ，
则 ．
因为 ，
，
，
所以


因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即整除，
亦即或 ．
当时，
数列的项满足，，时，
有，；
当时，
数列的项满足，，，时，
有，．
当，时，不能被整除，
此时不存在数列使得，． . .…...….…………分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
B
D
B
C
D
A
BC
CD
BD
极大值
极小值
极大值
极小值
极小值
极大值