2025湖北省腾云联盟高三上学期12月联考（一模）数学试卷含解析

这是一份2025湖北省腾云联盟高三上学期12月联考（一模）数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x||x−m|≤2}，若A∪B=B，则m的取值范围是( )
A. (0,1)B. (−1,1)C. [0,1]D. [−1,1]
2.已知椭圆M:x225+y29=1，则下列结论正确的是( )
A. M的焦点在y轴上B. M的焦距为4
C. M的离心率e=45D. M的长轴长是短轴长的54倍
3.(2x−1)5展开式中含x2项的系数为( )
A. 40B. −40C. 20D. −20
4.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜。如果每天的进步率都是2%，那么一年后是(1+2%)365≈1377.4，如果每天的落后率都是2%，那么一年后是(1−2%)365≈0.0006，一年后“进步”是“落后”的≈230万倍，现张三同学每天进步20%，李四同学每天落后10%，假设开始两人相当，则大约( )天后，张三超过李四的100倍(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.478)
A. 7B. 17C. 27D. 37
5.已知函数f(x)=ax2−lnx+2x是减函数，则a的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−1]C. (−∞,1]D. (−∞,−12]
6.已知实数x，y满足3x2+3xy+y2=3，则2x+y最大值为( )
A. 2B. 3C. 3D. 2
7.已知数列{an}为等比数列，a5=2，若{an}的前9项和为125，则数列{1an}的前9项和为( )
A. 512B. 125C. 53D. 35
8.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，左、右顶点为A1，A2，已知P为双曲线一条渐近线上一点，若∠F1PF2=3∠A1PA2=π2，则双曲线C的离心率e=( )
A. 13B. 2 3C. 11D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列关于向量与复数的说法正确的有( )
A. 若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z12=z22
B. 若复数z满足i⋅z=1+2i，则|z|= 5
C. 若a2=b2，则a=b或a=−b
D. 若ma=0，则m=0或a=0
10.已知函f(x)=cs2x+7csx+1，g(x)=sin2x+7csx.
A. f(x)的最小值为−5
B. g(x)在区间(0,π3)上单调递减
C. 若当x=x0时，g(x)取得极大值，则sinx0=14
D. 若F(x)=f(x)−g(x)在区间[0,a]恰有3个零点，则a∈[5π4,3π2)
11.已知定义在R上的函数y=f(x)，y=g(x)分别满足：f(x−1)+2x为偶函数，g(x+2)=g(x)−2，则下列结论正确的是( )
A. 函数g(x)+x为周期函数
B. f(−1)=2
C. y=f(x−1)x的图像关于点(0,−2)中心对称
D. g(x)−g(x−2024)=−2024
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1:ax−2y+1=0，l2:x+by+3=0，若l1//l2，则ab= .
13.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球体O的表面上，若BA=2，AC=4，且PA=PB=PC=BC=2 3，则球体O的表面积为 .
14.已知△ABC中，2(cs2A−cs2B+sin2C)=sinBsinC，①csA= ，②D为边BC的中点，若AD=AB，则sinCsinB= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}，{bn}满足a1=0，1+an⋅an+1=−2an+1，bn=an+1.
(1)求证：数列{1bn}是等差数列;
(2)令Cn=1bn⋅22n+1，求数列{Cn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
已知f(x)=(ax2+x+1)ex.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(−3,−1)内存在极小值点，求a的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=60∘，E为CD的中点，沿AE将△DAE翻折至△PAE位置得到四棱锥P−ABCE，F为PB上一动点.
(1)若F为PB的中点，证明：在翻折过程中均有CF//平面PAE;
(2)若PB=2，①证明：平面PAE⊥平面ABCE;
②记四棱锥P−ABCE的体积为V1，三棱锥F−ABC的体积为V2，若V1=3V2，求点F到平面PCE的距离.
18.(本小题17分)
如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过点P(2,1)作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交抛物线于A，B与M，N，当k1=2时，P为AB的中点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若|PM|⋅|PN|=|PA|⋅|PB|，证明：k1+k2=0;
(3)若直线AM过点Q(−2,0)，证明：直线BM过定点，并求出该定点坐标.
19.(本小题17分)
在某一次联考中，高三(9)班前10名同学的数学成绩xi(i=1,2,⋯,10)和物理成绩yi(i=1,2,⋯,10)如下表：
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀(成绩在120分(含)以上)，则该同学物理也优秀(物理成绩在78分(含)以上)的概率;
(2)已知该校高中生的数学成绩x，物理成绩y，化学成绩z两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩x和物理成绩y的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩y与化学成绩z的样本相关系数约为1213，分析相关系数的向量意义，求x，z的样本相关系数的最大值.
(3)设N为正整数，变量x和变量y的一组样本数据为{(xi,yi)|i=1,2,⋯,N}，其中xi(i=1,2,⋯,N)两两不相同，yi(i=1,2,⋯,N)两两不相同，按照由大到小的顺序，记xi在{xn|n=1,2,⋯,N}中排名是si位(i=1,2,⋯,N)，yi在{yn|n=1,2,⋯,N}中的排名是wi位(i=1,2,⋯,N).定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数(记为ρ)为变量xi的排名si和变量yi的排名wi的样本相关系数.记di=si−wi，其中i=1，2，⋯N，
证明：ρ=1−6N(N2−1)i=1Ndi2，并用上述公式求这组学生的数学成绩和物理成绩的斯皮尔曼相关系数(精确到0.01)(参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2 i=1n(yi−y)2，i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的运算以及集合间的关系，涉及了绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.
先化简集合B，再根据A∪B=B，可知A⊆B，即可得解.
【解答】
解：B={x|m−2≤x≤m+2}，
又A∪B=B，则A⊆B，
可得m+2≥2m−2≤−1，解得0≤m≤1.
故选：C.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，属于基础题，
根据椭圆的几何性质即可逐一求解.
【解答】
解：由椭圆方程x225+y29=1可知焦点在x轴上，故A错误;
由椭圆方程x225+y29=1可知a=5，b=3，c= a2−b2=4，所以焦距为8，故B错误;
由椭圆方程x225+y29=1可知a=5，b=3，c= a2−b2=4，所以离心率为45，故C正确;
由椭圆方程x225+y29=1可知a=5，b=3，c= a2−b2=4，所以长轴长是短轴长的53倍，故D错误;
综上所述，答案选择： C
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二项式定理，属于基础题.
利用展开式的通项即可求解.
【解答】
解：(2x−1)5展开式的通项为Tr+1=C5r⋅(2x)5−r⋅(−1)r=(−1)r⋅25−r⋅C5r⋅x5−r
令5−r=2，得r=3
则展开式中含x2项的系数为−13⋅22⋅C53=−40
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数与不等式在解决实际问题上的应用，属于中档题.
根据题意得(43)x≥100，根据对数的运算性质即可求解.
【解答】
解：设x天后，张三超过李四的100倍，
则(1+0.2)x>100(1−0.1)x即1.2x>100×0.9x即(1.20.9)x>100即(43)x>100，
两边取对数得，xlg43>2即x>2lg43=2lg4−lg3=22lg2−lg3≈22×0.301−0.478≈17，
故选B.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于一般题.
问题转化为2a≤1x2−2x在(0,+∞)上恒成立，由此即可求出结果.
【解答】
解：由题意知f′(x)=2ax−1x+2≤0在(0,+∞)上恒成立，
即2a≤1x2−2x在(0,+∞)上恒成立，
令t=1x∈(0,+∞)，则2a≤t2−2t=(t−1)2−1，
所以2a≤−1，即a≤−12，
所以a的取值范围为(−∞,−12].
故选D.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
将2x+y平方，利用基本不等式求解即可.
【解答】
解：(2x+y)2=3+x2+xy=3+x(x+y)≤3+(2x+y)24，
∴(2x+y)2≤4，∴2x+y≤2，当且仅当x=x+y，即y=0，x=1取等.
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质，属于中档题。
1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a9=S9a1a9=S9a52，即可求解。
【解答】解：∵{an}为等比数列，a5=2，{an}的前9项和为125，
∴1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a9=1a1+1a1q+1a1q2+⋅⋅⋅+1a1q8
=1+q+q2+⋅⋅⋅+q8a1q8=S9a1a9=S9a52=125⋅22=35.
故选D.
8.【答案】A
【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题.
根据双曲线性质结合坐标以及垂直求解.
【解答】解：由已知得到P(x0,bax0)，因为∠F1PF2=π2，所以(bax0)(bax0)(x0+c)⋅(x0−c)=−1，
即有b2a2x02=c2−x02，所以c2a2x02=c2，x0=a(取正)，即P在A2正上方，Pa,b
根据PA2⊥F1F2则|PA2||A1A2|=b2a= 3，b=2 3a，∴ca= 13
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题复数和向量的相关知识，属于基础题.
对选项逐个判断即可.
【解答】
解：对于A、取z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|=1，但z12=1，，z22=−1，故A错误；
对于B、z=1+2ii=1+2ii= 51= 5，故B正确；
对于C、取a=(1,0)，b=(0,1)，满足a2=b2=1，但不满足a=b或a=−b，故C错误；
对于D、若ma=0，则m=0或a=0，故D正确
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了三角函数性质，考查了导数判断单调性极值，属于中档题
利用三角函数性质判断AD，结合导数判断BC
【解答】
解：f(x)=2cs2x+7csx≥2−7=−5，故A正确；
g′(x)=2cs2x−7sinx=−4sin2x−7sinx+2=(sinx+2)(−4sinx+1)，x∈(0,π3)，g′(x)有正负，故B错误；
当sinx=14，g′(x)=0，结合图象，当g(x)取得极大值时，sinx0=14，故C正确；
F(x)=1− 2sin(2x−π4)，令2x−π4=α∈[−π4,2a−π4]，结合图象9π4≤2x−π40时，(i)当−1a>−2即a>12时，x∈(−∞,−2)，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(−2,−1a)，f′(x)0，f(x)单调递增，
∴f(x)在x=−1a取得极小值，∴−1a