2025省哈尔滨三中高二上学期期中考试数学试卷含解析

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数学试卷
考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题（共58分）
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 圆的圆心和半径分别是（ ）
A ，2B. ，2
C. ，D. ，
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 经验回归方程至少经过其样本数据点，，…，中的一个
B. 可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强
C. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
D. 残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
3. 某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 将1，2，3，4，5，6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相等的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 设a为实数，已知直线：，：，若，则（ ）
A. 6B. C. 6或D. 或3
6. 已知直线l：，其中t为展开式中的常数项，则点到直线l的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 10
7. 某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（ ）千人.
参考数据：
A. 9.6B. 10.8C. 12D. 13.2
8. 已知函数，则的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 关于函数，下列命题中正确的是（ ）
A. 是以为最小正周期的周期函数
B. 的最大值为
C. 将函数的图象向左平移个单位后，与已知函数的图象重合
D. 的图象关于直线对称
10. 在平面直角坐标系中，定义为两点Ax1,y1，Bx2,y2的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ）
A. ，，则
B. 为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆
C. 对任意三点、、，都有
D. 已知点和直线：，则
11. 高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）
12. 下列说法中正确的有__________（填正确说法的序号）
①直线的倾斜角为
②直线的斜率为
③直线（）过定点
④点到直线的距离为1
13. 对于随机事件，若，，，则__________.
14. 已知正方体的棱长为2，E、F为空间内两点且，，.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为______.
三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求锐角大小；
（2）在（1）的条件下，若，且的周长为，求的面积.
16. 已知的三个顶点分别是，，
（1）求边AC的高BH所在直线方程；
（2）已知M为AB中点，试在直线CM上求一点P，在x轴上求一点Q，使的周长最小，并求最小值.
17. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数；
（2）若采用按比例分层抽样方法从评分在，80,90的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望；
（3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.
附：，
18. 棱长为2的正方体，M为正方体中心，将四棱锥绕逆时针旋转（）后得到四棱锥，如图1.

（1）求四棱锥的表面积和体积；
（2）若（如图2），求证：平面平面；
（3）求为多少时，直线与直线DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.
19. 某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到.
（1）当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；
（2）记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X
①设，，求随机变量X的分布列和数学期望；
②求使取得最大值的整数m.
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828