六年级上册数学培优奥数讲义-第18讲 与圆有关的组合图形2

这是一份六年级上册数学培优奥数讲义-第18讲 与圆有关的组合图形2，共8页。
知识与方法
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，不仅要看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件以及要求的问题间的关系。
初级挑战1
求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
观察发现，阴影部分的面积＝（ ）－（ ）。
答案： 2×2-π×1²＝0.86（平方厘米）
能力探索1
如图所示，圆的半径为2厘米，∠AOC为直角，则图中阴影部分的面积是多少？
答案：3.14×2÷4－2÷2＝1.14（平方厘米）
初级挑战2
如图，扇形AFB是一个圆心角为90的扇形，四边形BCDE和AFBG都是正方形。那么图中阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）
方法一：如下图，连接AB，将阴影部分分为①②两部分，分别计算出两部分的面积，再相加即可。
方法二：如图，阴影部分的面积也可看成是三角形ACG的面积减去空白部分③的面积，分别算出这两部分的面积，再相减即可。
答案：[3.14×4÷4－4×4÷2]＋3×4÷2＝10.56（平方厘米）
能力探索2
如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是多少？
答案：（3＋5）×3÷2＋3.14×÷4－（3＋5）×3÷2＝19.625（平方厘米）
中级挑战1
已知下图中正方形的周长是40厘米，图中阴影部分的面积是多少？
[来
方法一：图中阴影部分是由四个以正方形的边长为直径的半圆相交而成的，因此可将阴影部分进行分解再求。
方法二：四个半圆加起来，减去一个正方形的面积，正好是阴影部分的面积。
答案：正方形的边长a＝40÷4＝10（厘米）
圆的半径r＝10÷2＝5（厘米）
方法一（连接正方形的对角线画圆）：3.14×52－10×5÷2＝14.25（平方厘米），14.25×4＝57（平方厘米）
方法二：正方形的边长a＝40÷4＝10（厘米）
圆的半径r＝10÷2＝5（厘米）
阴影部分面积：πr2÷2×4－a2＝50π－100＝157－100＝57（平方厘米）
能力探索2
下图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
答案：方法一：
8×[3.14×（10÷2）2×14−（10÷2）×（10÷2）×12]＝57（平方厘米）
方法二：如下图，把图中8个扇形的面积加在一起，减去一个正方形的面积，正好是阴影部分的面积，而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
中级挑战2
如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O2的面积。
：如图所示，因为两个圆的面积相等，所以这两个扇形面积相等，长方形中两个空白部分的面积也相等；又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半。
答案：×3.14×12×2＝3.14÷2＝1.57（平方厘米）
能力探索4
如图所示，圆的周长为12.56厘米，A、C两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
答案：直径：12.56÷3.14＝4（厘米）
平行四边形（圆）的面积：
3.14×(4÷2)2＝12.56（平方厘米）
聪明泉
概率
我去参观气象站，看到许多预测天气的最新仪器。参观完毕，我问站长：“你说有百分之七十五的概率下雨时，是怎样计算出来的？” 站长不假思索答道：“那就是说，我们这里有四个人，其中三个认为会下雨。”
拓展挑战
三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米。 AB长40厘米, BC长 厘米。
从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积，阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC的面积。又已知①的面积比②的面积小28平方厘米，故半圆面积比三角形ABC的面积小28平方厘米。而半圆面积为3.14×()2×＝628（平方厘米），所以三角形ABC的面积为628＋28＝656（平方厘米）。BC的长为656×2÷40＝32.8（厘米）。
能力探索5
下图中甲比乙的面积大57平方厘米，求 。
答案：三角形的面积是： 3.14×（20÷2）2÷2－57＝100（平方厘米）
的长是：100×2÷20＝10（厘米）
课堂小测
1、下图是在直径为16厘米的半圆中有一个半圆和一个等腰直角三角形，求图中阴影部分的面积。
答案：
＝43.36（平方厘米）
2、求阴影部分的面积。（单位：厘米）

答案：10×（10＋12）÷2＋3.14×÷4－10×（10＋12）÷2
＝3.14×÷4
＝113.04（平方厘米）
3、下图正方形的边长是28厘米，求图中阴影部分的面积。
答案:（平方厘米）
4、如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米。求三角形ABO的边OA的长。
答案： 因为阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，
所以半圆面积比三角形ABO的面积少1.25平方厘米。
半圆面积:3.14×÷2＝39.25（平方厘米）
三角形ABO的面积：39.25＋1.25＝40.5（平方厘米）
OA长：2×40.5÷10＝8.1（厘米）
课后作业
1、如图所示，AB＝BC＝20厘米，求阴影部分的面积。

答案：

如图，将阴影部分分成一个扇形和一个三角形。
阴影部分的面积：×3.14×(20÷2)2＋（20÷2）×（20÷2）÷2
＝3.14×25＋50
＝78.5＋50
＝128.5（平方厘米）
答：阴影部分的面积为128.5平方厘米。
2、右图直角三角形三条边分别长12厘米，16厘米，20厘米，三个半圆分别以三条边为直径，求图中阴影部分的面积。
答案:（平方厘米）
3、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
答案:方法一：如图添加辅助线，那么阴影部分面积等于半径为6厘米圆的面积，加直角边为6厘米的等腰直角三角形面积，减去底为6厘米高也为6厘米的三角形面积。
6×6×3.14× EQ \F(1,4) ＋6×6÷2－6×6÷2＝28.26（平方厘米）
方法二：正方形面积为6×6＝36（平方厘米）
含阴影部分的大三角形面积为6×（6＋6）÷2＝36（平方厘米）
即正方形面积等于含阴影部分的大三角形面积，除去公共部分，那么另外两个小三角形的面积相等。所以要求阴影部分面积即圆的面积。
6×6×3.14× EQ \F(1,4) ＝28.26（平方厘米）