(通用版)中考数学一轮复习精讲精练第2章第1讲 一次方程（组）及其应用（2份，原卷版+解析版）

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知识梳理 夯实基础
知识点1：方程的相关概念及等式的性质
方程的相关概念
含有未知数的 叫做方程;使方程左右两边的值相等的 的值叫做方程的解;求方程的解的过程叫做解方程;只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的 。
2、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）
基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.
基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.
性质3：如果，那么（对称性）
性质4：如果，，那么（传递性）
知识点2：一元一次方程及其解法
一元一次方程:只含有 个未知数(元)，并且未知数的次数都是 ，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可
以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。
温馨提示
形如(其中，为常数，且)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。
2、解一元一次方程的一般步骤
例：
解：去分母：
去括号：
移项：
合并同类项：
系数化为1：
注：本题中去分母时，方程右侧的-1易漏乘最小公倍数；移项时易忘变号。
知识点3：二元一次方程（组）及其解法
1、二元一次方程（组）定义
二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）
（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可以使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）
一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法较简单。
当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关
系时，选择加减消元法较简单。
注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。
知识点4：*三元一次方程组
1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的
次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
知识点5：一次方程（组）的实际应用
1、列一次方程(组)解应用题的步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；
设：设关键未知数；
列：根据题中的等量关系，列方程(组)；
解：解方程(组)；
验：检验所解答案是否符合题意；
答：规范作答，注意单位名称。
2、常见的关系式
直击中考 胜券在握
1．（四川省南充市2019年中考数学试题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9B．8C．5D．4
2．解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）解方程组时，若将①-②可得（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程x＋2y＝﹣1的解，则a的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为（ ）
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
7．（2021·四川南充·中考真题）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·黑龙江·中考真题）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
9．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
10．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．种B．种C．种D．种
11．（2021·广东·深圳中学八年级期中）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·湖南怀化·中考真题）定义，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
13．（2020·四川南充·中考真题）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔_______支．
14．（2021·山东泰安·中考真题）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为________．
15．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
16．（山东省滨州市2018年中考数学试题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．
17．（2021·广东·九年级专题练习）已知，，则的值为_________．
18．（2021·浙江浙江·七年级期中）对于实数，定义运算“※”：，例如，因为，所以．若满足方程组，则____．
19．（2021·江苏苏州·中考真题）解方程组：.
20．（2021·四川·石室中学八年级期中）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（广东省2020年中考数学试题）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
22．（2021·陕西·中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
23．（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
24．（2021·贵州安顺·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．
25．（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
去分母
若未知数的系数有分母，则要去分母。注意要在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
去括号
若方程含有括号，则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。若去括号时括号前是负号，去掉括号后，括号内的各项均要 。
移项
把含有未知数的项移到等式的一边，其他项移到另一边。一般把含 的项移到等式左边。移项要改变符号。
合并同类项
把方程化成 （）的形式。
系数化为1
方程两边同 未知数的系数，得到方程的解。
定义
方程的解
解的情况
二元一次方程
含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值。
有无数组解
二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。
一般地，二元一次方程组的两个方程的 叫做二元一次方程组的解。
只有一组公共解
行程问题
基本关系式:路程=速度×时间.
相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=总路程.
追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=后者走的路程;同时不同地出发:慢者走的路程+两地间距离=快者走的路程.
储蓄问题
本金×利率×期数=利息,本金+利息=本息和.
销售问题
总价=单价×数量,利润率=×100%,利润=售价-成本(或进价)=利润率×成本.
分配问题
总量=甲的数量+乙的数量,总金额=甲的金额+乙的金额.
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.
增长率问题
已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1+x)=b.
数字问题
十位a，个位b，表示为10a+b；百位a，十位b，个位c，表示为100a+10b+c
产品
展板
宣传册
横幅
制作一件产品所需时间（小时）
1
制作一件产品所获利润（元）
20
3
10