(通用版)中考数学一轮复习精讲精练第3章第6讲 锐角三角函数及其应用（2份，原卷版+解析版）

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知识梳理 夯实基础
知识点1：锐角三角形
知识点2：特殊角的三角函数值
图表记忆
规律记忆
30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；
30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。
知识点3：解直角三角形的常用关系
常见关系
解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助。
知识点4：解直角三角形的实际应用
测量物体高度的常见三角形模型
（1）利用水平距离测量物体的高度（）
（2）测量底部可以到达的物体的高度（）
（3）测量底部不可达到的物体的高度（）
直击中考 胜券在握
1．（2021·天津中考）的值等于（ ）
A．B．C．1D．2
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（ ）
A．sinA＝B．tanA＝C．tanB＝D．csB＝
3．在Rt中，AC＝8，BC＝6，则csA的值等于（ ）
A．B．C．或D．或
4．在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·安徽省中考）如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，于，下列结论错误的有（ ）个
①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.
A．0B．lC．2D．3
7．在△ABC中，若|csA-|+（1-tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
8.如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（ ）.
A．2B．C．D．1
9．（2021·云南中考）在中，，若，则的长是（ ）
A．B．C．60D．80
10．（2021·桂林中考）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·金华中考）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米B．米C．米D．米
12．（2021·宜昌中考）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·福建中考）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
14.（2021·吉林长春中考）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．米B．米C．米D．米
15．（2020·重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（ ）
（参考数据：，，）
A．76.9mB．82.1mC．94.8mD．112.6m
16．（2021·随州中考）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，csA，则BD的长度为_____．
18．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是___________ .
19．（2021·梧州中考）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cs83°≈0.12，tan83°≈8.14）
20．（2021·湖北荆州中考）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，点到的距离为_____________cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
21．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．
22．（2021·四川绵阳中考）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．
23．（2021·广西百色中考）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．
24．（2021·辽宁阜新中考）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m，）．
25．（2021·广西贵港·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________．
26．（2021·江苏常州中考）如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________．
27．（2021·湖北黄石中考）如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留一位小数）
28．（2021·辽宁本溪中考）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则________．
29．（2021·湖北天门中考）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数）
30．计算：
（1）6tan230°﹣sin60°﹣2tan45°；
sin60°cs60°+sin45°cs45°﹣sin30°cs30°．
（3）
31．（2021·上海中考）已知在中，，，为边上的中线．
（1）求的长；
（2）求的值．
32．（2021·四川省成都中考）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：）
33．（2021·甘肃省武威市中考）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为．
问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：，．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
34．（2021·天津市中考）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73．
35．（2021·四川巴中中考）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
36．（2021·辽宁朝阳中考）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
37．（2021·辽宁锦州中考）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
38．（2021·贵州省铜仁市中考）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（）
锐角三角形函数的定义
在中，，，，的对边分别为，，。
的正弦：
的余弦：
的正切：
互余两角的三角函数关系
若则
三角函数
图形记忆
30°
45°
60°
1
三边关系
（勾股定理）
两锐角间关系

边角关系




面积关系

概念
定义
图形
俯角、仰角
在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.
坡度（坡比）、坡角
坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= .
方向角
一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向).