(通用版)中考数学一轮复习精讲精练第5章第1讲 与圆有关的概念及性质（2份，原卷版+解析版）

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知识梳理 夯实基础
知识点1：与圆有关的概念
1.圆的定义
如图,在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA的长为r,叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“O”,读作“圆O”.
注:圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.
圆的有关概念
确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性
(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆心的直线.
1.因为直径是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”.
2.圆的对称轴有无数条.
(2)圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,都能与自身重合,旋转中心为圆心,圆的这种性质叫做圆的旋转不变性.
(3)圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
知识点2：垂径分弦
1.垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且 弦所对的两条弧。
注意:垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可。
垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立。
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦相等,所对弦的弦心距相等。
2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。
可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等。
注意：
(1)定理(推论)成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，缺少这一前提条件定理(推论)不成立。
(2)在这个推论中，四组量中只要有一组量“不等”，其余各组量也“不等”。
知识点4：圆周角定理及其推论
知识点5：圆内接四边形的概念和定理
直击中考 胜券在握
1．（2021·长沙中考）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·甘肃省中考）如图，点在上，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·四川南充中考）如图，AB是的直径，弦于点E，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·宜昌中考）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·重庆中考A卷）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A．80°B．100°C．110°D．120°
6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6B．3C．9D．12
7．（2020·黔东南中考）如图，以为直径的半圆过点，，在半径上取一点，使，，则点到的距离是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·广东省中考）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ）
A．B．C．1D．2
9．（2021·巴中中考）如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（ ）
A．40cm2B．20cm2C．10cm2D．5cm2
11．（2021·西藏中考）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
12．（2021·山东滨州中考）如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·黑龙江牡丹江中考）如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．60°
14．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
15．（2021·青海省中考）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）．
A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分
16．（2021·安徽省中考）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
17．（2021·青海西宁中考）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．
18．（2021·广西河池中考）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________．
19．（2021·四川德阳中考）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．
20．（2021·辽宁朝阳中考）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为__________．
21．（2021·四川德阳中考）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 __________________．
22．（2021·辽宁盘锦中考）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________
23．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A'B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A'＝20°，则∠OCB＝_______°．
24．如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是_________．
25．（2020·济宁中考）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．
26．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE·CO，其中正确结论的序号是____．
27．（2021·山东临沂中考）如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
28．（2021·北京中考）如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
29．（2021·贵州毕节中考）如图，是的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE．
（1）求证：；
（2）若，，求DB的长．
30．（2021·苏州中考）如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
31．（2021·浙江省湖州中考）如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．
（1）求的度数；
（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．
32．（2021·杭州中考）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．
(1)求证：．
(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．
(3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．
33． 如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆，圆心为O，且AB=AD，延长CB、DA交于P，过C点作PD的垂线交PD的延长线于E，且PB=BO，连接OA．
（1）求证：OA∥CD；
（2）求线段BC：DC的值；
（3）若CD=18，求DE的长．
同心圆
圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆。
等圆
能够重合的两个圆叫做等圆
半圆
圆的任意一条 的两端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示。大于半圆的弧叫做 ，如；小于半圆的弧叫做 ，如.
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦
连接圆上任意两点的 叫做弦，如弦AC
弓形
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
直径
经过 的弦叫做直径，如直径BC。
圆心角
顶点在 的角叫做圆心角，如∠AOB。
圆周角
顶点在圆上，并且 都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角，如∠ACB。
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的
常见图形
结论
∠ACB=
推论
1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，相等的圆周角所对的弧也相等。
2.半圆或直径所对的圆周角是 ；
90°的圆周角所对的弦是 。
概念
一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
定理
圆内接四边形的对角 ，且任何一个外角都等于它的内对角。