(通用版)中考数学一轮复习精讲精练第5章第3讲 与圆有关的计算（2份，原卷版+解析版）

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知识梳理 夯实基础
知识点1： 弧长与扇形面积的计算
计算弧长必须具备两个条件——半径和该弧所对的圆心角的度数,运用公式时需要注意以下三点:
(1)公式的分母是180，不是360；公式的分子是不是；
(2)公式中圆心角的度数n的单位必须是度；
(3)当已知弧长，求半径或圆心角度数时，要将计算公式当作方程用。
知识点2： 圆柱、圆锥的有关计算
知识点3：阴影部分面积的计算
规则图形：直接用面积公式计算。
不规则图形：
1.割补法；将不规则图形分割为若干个规则图形.
2.拼凑法；割下某些图形补到适当的位置,使之构成规则的图形.
3.等积替换法。通过等面积转化,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
直击中考 胜券在握
1．（2021·云南中考）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到∠BOD，再利用弧长公式计算．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°，
∴∠BOD=60°，
∴劣弧BD的长为=π，
故选B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数．
2．（2022·中考预测）如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A，根据题意可得O＇B⊥OB、O＇A⊥OA，且OB=OA=O＇B=O＇A,得到四边形O＇BOA是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：如图：画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A
∵恰好与、相切
∴O＇B⊥OB、O＇A⊥OA
∵OB=OA=O＇B=O＇A,
∴四边形O＇BOA是正方形
∴∠O=90°
∴劣弧的长为．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．
3．（2021·山西中考）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】
解：过B点作AC垂线，垂直为G，
根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
4．（2021·四川德阳中考）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π，
设圆心角的度数是n度，
则=2π，
解得：n=120．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
5．（2021·江苏工业园区二模）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径是1，高是2，
∴圆锥的母线长=，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积=π×1×=π．
故选：C．
【点睛】
考查圆锥的侧面积计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：．
6．（2021·云南一模）如图，点是上的点，已知的半径，欢欢利用图中阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理先求得阴影部分扇形的圆心角度数，再根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径的长，最后根据勾股定理求得圆锥的高．
【详解】
阴影部分扇形的圆心角
设圆锥的底面半径为圆锥的高为
故选C
【点睛】
本题考查了圆周角定理，弧长，圆锥的侧面展开图，理解圆锥的侧面展开图的各数据是解题的关键．
7．（2021·黑龙江建华三模）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．米2B．米2
C．米2D．米2
【答案】A
【解析】
【分析】
由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．
【详解】
解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，
∴圆锥的母线长=米，
∴圆锥的侧面积=，
圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，
即，
故需要的毛毡：米，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．
8．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是_________m．
【答案】
【解析】
【详解】
分析：首先连接AO，求出AB的长度是多少；然后求出扇形的弧长弧BC
为多少，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少；最后应用勾股定理，求出圆锥的高是多少即可．
详解：如图1，连接AO，
∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
又∵
∴
∴
∴弧BC的长为：(m)，
∴将剪下的扇形围成的圆锥的半径是：
(m)，
∴圆锥的高是：
故答案为.
点睛：考查圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关系式解决本题的关键.
9．（2020·扬州中考）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长________cm．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【详解】
解：如图：作BD⊥AC于D
由正六边形，得
∠ABC=120°，AB=BC=a，
∠BCD=∠BAC=30°．
由AC=3，得CD=．
cs∠BCD==，即，
解得a=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数．
10．（2021·重庆中考A卷）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】
利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，
∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．
11．（2021·兰州中考）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．
【答案】108
【解析】
【分析】
根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得．
【详解】
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的公式的应用，牢记弧长公式是解题的关键．
12．用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解．
【详解】
∵扇形的弧长=，
∴圆锥的底面半径=÷2π=．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．
13．（2021·湖南省郴州市中考）如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是，那么这张扇形纸板的面积是________（结果用含的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意易得该扇形的弧长为，然后根据扇形面积计算公式可求解．
【详解】
解：由题意得：
该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为，
∴该扇形的面积为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．
14．（2021·内蒙古呼和浩特市中考）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
【答案】 216
【解析】
【分析】
根据题意可确定，圆锥侧面展开图是半径为8的扇形，并且其弧长即为底面圆的周长，因而求出底面圆的周长即可，另外根据扇形的弧长公式即可直接求出展开之后的圆心角．
【详解】
如图，由题意可知，AB=10，AO=8，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6，
则该扇形展开后侧面是半径为10的扇形，其弧长即为底面圆的周长，
∴底面的周长为：，
根据弧长公式可得：，解得：，
故答案为：；216．
【点睛】
本题考查圆锥的侧面展开问题，理解圆锥侧面展开图形的性质以及基本定理是解题关键．
15．如图，在扇形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，过点作于点，则阴影部分的面积是________．
【答案】
【解析】
【详解】
如解图，连接、，由题意可知，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，，∴．
16．（2021·吉林省中考）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】
连接，由扇形面积﹣三角形面积求解．
【详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
17．（2021·江苏江都）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过 的图形（阴影部分）的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图形旋转性质，将阴影部分转化为扇环求解即可．
【详解】
解：从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是，
∴阴影面积=大扇形面积-小扇形面积== ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
18．（2021·湖北宜昌中考）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据等边三角形性质求出相关的边、角数值，计算出扇形面积和弓形面积，从而推算出阴影面积即可．
【详解】
解：如下图：
过点Ａ作于点D，
∵为等边三角形，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查的圆内阴影面积的求法、扇形面积的计算、等边三角形性质与面积计算、锐角三角函数等相关知识点，根据题意找见相关的等量是解题关键．
19．（2021·青海中考）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】4 cm2
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和图形的特点解答．
【详解】
每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2．
∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．
故答案为4cm2．
【点睛】
本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
20．（2021·四川省资阳市中考）如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接BE，由题意易得BE=AB=2cm，进而可得∠EBC=30°，∠ABE=60°，然后可得EC=1cm，最后根据割补法及扇形面积计算公式可进行求解阴影部分的面积．
【详解】
解：连接BE，如图所示：
由题意得BE=AB=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴∠EBC=30°，∠ABE=60°，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查扇形面积计算公式及三角函数，熟练掌握扇形面积计算公式及三角函数是解题的关键．
21．如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点E，以点C为圆心，CB长为半径画弧交CD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【详解】
扇形的面积，扇形的面积，
矩形的面积，
则．
22．（2021·福建·泉州五中模拟预测）已知圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则圆锥的全面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆锥的全面积公式求解即可．圆锥的全面积=侧面积+底面积=．
【详解】
∵圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
∴圆锥的全面积=侧面积+底面积=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了圆锥的全面积公式，解题的关键是熟练掌握圆锥的全面积公式．圆锥的全面积=侧面积+底面积=．
23．（2021·广东·江门市第二中学二模）用半径为2，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】
圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【详解】
解：设圆锥的底面圆半径为r，
由题意得，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
24．（2021·江苏淮安中考）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是___．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面积＝πrl，列出方程求解即可．
【详解】
解：∵圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，
3πl＝18π．
解得：l＝6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
25．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的高为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：由题意得：圆锥的母线长为，
∴圆锥的高为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查圆锥的侧面积及高的求法，熟练掌握圆锥的侧面积及高的求法是解题的关键．
26．（2021·江苏建邺·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】
解：底面半径为2，则底面周长=4π，侧面展开图是半圆，则母线长=4π×2÷2π=4，
∴圆锥的侧面积=×4π×4=8π．
故答案为：8π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积，牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键．
27．（2021·江苏南通中考）圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】
解：依题意知母线长=2，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．
故答案为：2π．
【点睛】
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
28．（2021·内蒙古呼伦贝尔中考）将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥，则圆锥的母线长为_________．
【答案】3cm
【解析】
【分析】
设母线长为xcm，根据扇形的弧长等于底面圆的周长列式计算即可得到答案．
【详解】
解：设母线长为xcm，
，
解得r=3，
故答案为：3cm．
【点睛】
此题考查弧长的计算公式，正确掌握圆锥侧面扇形与底面圆的关系是解题的关键．
29．（2021·江苏丹阳二模）圆锥底面圆的半径为5，圆锥的侧面积为30π，则该圆锥的母线长为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
先求出底面周长，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】
解：∵圆锥底面圆的半径为5，
∴圆锥底面圆周长为，
∴，
解得，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
30．（2021·广西贵港中考）如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意得：，解得：，然后根据高为4，利用勾股定理得，从而求得底面半径和母线长，利用侧面积公式求得答案即可．
【详解】
解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
根据题意得：，
解得：，
高为4，
，
解得：，
母线长为，
圆锥的侧面积为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，难度不大．
31．（2021·黑龙江佳木斯三模）现有一个圆心角为，半径为6cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径为______cm．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【详解】
解：圆锥的底面周长是：．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=．
解得：r=2．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
32．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的⊙O与交于点D，平分．
（1）求证：为⊙O的切线
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，则OD=OA，则∠OAD=∠ODA，由角平分线的定义，得到∠ODA=∠DAC，则OD∥AC，即可证明结论成立；
（2）连接DE，先证明△ADE∽△ACD，结合，，求出，然后利用三角函数，求出∠AED=60°，则∠AOD=120°，再求出扇形AOD和△AOD的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）连接OD，如图：
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵平分，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴，即OD⊥BC，
∵OD是半径，
∴为⊙O的切线；
（2）连接DE，如图：
∵AE是直径，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠OAD=∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
∴，即，
∴，
在直角△ADE中，由勾股定理，
∴，
，
∴，
∴∠AOD=120°，
∵OA=OD=2，
∴，
，
∵点O是AE的中点，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，求扇形的面积，求不规则图形的面积，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
33．（2021·山东省诸城市树一中学三模）如图，是的外接圆，，，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，根据，可得，再根据圆周角定理，可得，即可求解；
（2）先证明，可得，从而，继而得到，可求出，即可求解．
【详解】
解：（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵且，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，求扇形的面积，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
34．（2021·江苏滨海一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥AC得到AD＝CD，则OM为AC的垂直平分线，所以AM＝CM，证明△AOM≌△COM（SSS），得出∠OAM＝∠OCM＝90°，根据切线的判定定理得AM与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为x，则OD＝x−4，OA＝x，由勾股定理得出（x−4）2＋（4）2＝x2，解得x＝8，求出OM的长，则可求出MN的长；
（3）由扇形的面积公式可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接OC，如图，
∵CM为切线，
∴OC⊥CM，
∴∠OCM＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
即OE垂直平分AC，
∴AM＝CM，
在△AOM和△COM中
，
∴△AOM≌△COM（SSS），
∴∠OAM＝∠OCM＝90°，
∴AM⊥AO，
∴AM与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝ON−DN＝x−4，OA＝x，
在Rt△OAD中，AD＝AC＝4，
∵AD2＋OD2＝OA2，
∴(4)2＋(x−4)2＝x2，解得x＝8，
∴OD＝4，OA＝8，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴OM＝2OA＝16，
∴MN＝OM−ON＝16−8＝8．
（3）∵∠AOM＝60°，∠OAM＝90°，
∴∠AMO=30°
∴在Rt△AOM中，AM＝，
∴S阴影＝S四边形AOCM−S扇形OAC
＝2××8×8−=．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
35．（2021·福建模拟预测）如图，在中，，以为直径的交边于点，为中点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）为的中点，连接，，若，，求劣弧的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）要证DE 与⊙O相切，需证DE 是⊙O的切线；为此，连接OD，证明OD⊥DE即可；
（2）要求的长，需求出⊙O的半径和它所对的圆心角∠BOD的度数即可．
【详解】
（1）证明：如图，连接，．
∵为的直径，
∴，
∴．
∵在中，为的中点，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴，即．
∴是的切线，即DE与 相切．
（2）解：如解图，连接，过点作，垂足为．
∵，
∴中，．
∴．
∵
∴，∠BOD=2∠BAD=120°．
在中，
．
∵为的中点，
∴FO⊥AB．
∴．
∵
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
∴
【点睛】
本题考查了切线的判定定理、圆周角定理及推论、直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、弧长公式等知识点，熟知相关的定理和公式是解题的关键．
36．（2021·湖北襄阳中考）如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，证明即可；
（2）由已知条件得出，利用特殊角锐角三角函数求出OD、OG的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求即可．
【详解】
.（1）证明：连接．
∵，．
∴．
∵是的半径，
∴是切线．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据题意求出是解题关键．
圆的周长

为圆的半径，为所对的圆心角的度数，是扇形OAB的弧长。
扇形的弧长

圆的面积

扇形面积
=
名称
示意图
面积/周长
特征
圆柱

+
侧面展开图为矩形。
圆锥
圆锥的轴截面是等腰三角形,圆锥的母线长、底面圆半径和圆锥的高，这三个量之间的数量关系为.
2.圆锥的侧面展开图是扇形.
3.圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长.
4.圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径.
5.（为侧面展开扇形圆心角、为母线长、是底面圆的半径）