中考数学一轮复习考点精讲与分层训练专题14 三角形与全等三角形（2份，原卷版+解析版）

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理解三角形、理解三角形的内角、外角
理解三角形的中线、高线、角平分线、了解三角形的稳定性
探索并证明三角形的内角和定理
掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
证明三角形的任意两边之和大于第三边
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角
掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等
掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等
探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7128" 第14讲 三角形与全等三角形（精讲） PAGEREF _Tc7128 \h 1
\l "_Tc27283" 考点1：与三角形有关的边 PAGEREF _Tc27283 \h 3
\l "_Tc13292" 考点2：与三角形有关的角 PAGEREF _Tc13292 \h 12
\l "_Tc9655" 考点3：全等三角形 PAGEREF _Tc9655 \h 21
\l "_Tc23429" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc23429 \h 32
\l "_Tc31355" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc31355 \h 33
考点1：与三角形有关的边
①三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
②角平分线：
（1）角平线上的点到角两边的距离相等
（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
③中线：
（1）将三角形的面积等分
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
④高：
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部

｛三角形的分类★｝如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是
A．表示等腰三角形，表示等边三角形，表示三边均不相等的三角形
B．表示等边三角形，表示等腰三角形，表示三边均不相等的三角形
C．表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形，表示等边三角形
D．表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形，表示等腰三角形
｛三角形的高★｝如图，在中，边上的高是
A．线段B．线段C．线段D．线段
｛与三角形有关的线段★｝在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为．”小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半．”对以上两位同学的说法，你认为
A．两人都不正确B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确D．两人都正确
｛三角形的角平分线★｝甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法
A．甲、乙两人均正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙两人均错误
｛三角形的中线★｝如图，已知中，点、分别是边、的中点．若的面积等于8，则的面积等于
A．2B．3C．4D．5
｛与三角形有关的线段★★｝如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有
①是的角平分线；②是边上的中线；
③是边上的高；④是的角平分线和高．
A．1个B．2个C．3个D．4个
｛与三角形有关的线段★★｝如图，直角三角形中，，于点，，，，，，则点到的距离是 ．
｛与三角形有关的线段★★｝中，下列说法正确的有 （填序号）
①三条角平分线的交点到三边的距离相等；②三条中线的交点到三边的距离相等；
③三条中垂线的交点到三顶点的距离相等；④三边的高的交点一定在三角形的内部．
｛与三角形有关的线段★★｝的两条边的长度分别为2和5，若第三条边为奇数，则的周长为 ．
｛三角形的分类★｝下列关于三角形的分类，正确的是
A．B．C．D．
｛与三角形有关的线段★★｝如图，中，边上的高是线段
A．B．C．D．
｛与三角形有关的线段★★｝下列说法中：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，其中说法正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
｛与三角形有关的线段★★｝（2021春•信都区期末）如图，的角平分线，中线交于点，则结论：①是的角平分线；②是的中线．其中
A．①、②都正确B．①、②都不正确
C．①正确②不正确D．①不正确，②正确
｛与三角形有关的线段★★｝已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
｛三角形的三边关系★★｝三角形的三边长分别为2，5，，则的取值范围是 ．
（2017•永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，，，给出三角形，则这块玻璃镜的圆心是
A．，边上的中线的交点 B．，边上的垂直平分线的交点
C．，边上的高所在直线的交点D．与的角平分线的交点
（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 ．
（2019•南京）在中，，，，则的长的取值范围是 ．
考点2：与三角形有关的角
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.

｛与三角形有关的角★★｝在中，，的平分线交于点，若，则 度．
｛与三角形有关的角★★｝如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为 ．
｛与三角形有关的角★★｝（2021秋•仙居县期中）如图，将一角折叠，若，则 ．
｛与三角形有关的角★★｝如图，平分，平分，已知，，则 ．
｛与三角形有关的角★★｝当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中称为“希望角”，如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 ．
｛与三角形有关的角★★｝如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 ．
｛与三角形有关的角★★｝如图，的平分线与的平分线相交于．若，，则 ．
｛与三角形有关的角★★｝如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数 ．
｛与三角形有关的角★★｝如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为 ．
（2021•梧州）在中，，，则等于
A．B．C．D．
（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是
A．B．C．D．
（2020•湖北）将一副三角尺按如图摆放，点在上，点在的延长线上，，，，，则的度数是
A．B．C．D．
考点3：全等三角形
①全等三角形的性质：
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
②三角形全等的判定

｛全等三角形的判定与性质★｝下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形是全等图形B．两个等边三角形是全等图形
C．两个周长相等的圆是全等图形 D．形状相同的两个图形是全等图形
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．BE＝DCD．AD＝DE
｛全等三角形的判定与性质★｝如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝（ ）
A．8B．或6C．10D．或6
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，AD和BC相交于O点，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加（ ）
A．AB＝CDB．∠A＝∠CC．OB＝ODD．∠AOB＝∠COD
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，点A、D、C、F在同一条直线上，若AB＝DE，BC＝EF，则下列条件中能满足△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠EDFB．AD＝CFC．∠BCA＝∠FD．BC∥EF
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分线，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，则∠E的度数是（ ）
A．26°B．22°C．34°D．30°
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为（ ）
A．35°B．30°C．60°D．65°
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，若∠OAD＝64°，当BC∥OA时，∠ABO的度数为（ ）
A．26°B．32°C．36°D．38°
｛全等三角形的判定与性质★｝根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠C＝90°，∠B＝30°D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，点E，C，F，B在同一条直线上，AC∥DF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DFB．AB＝DEC．∠A＝∠DD．AB∥DE
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，A、C、E三点在向一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC，则有以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
｛全等三角形的判定与性质★｝已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30°B．25°C．35°D．65°
（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
（2021•重庆）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．AC∥FD
（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事．
A．①B．②C．③D．①③
（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是
①的面积的面积；
②；
③；
④．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．③④
2．已知为的中线，且，，则与的周长之差为
A．B．C．D．
3．下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如图，在中，边上的高为
A．B．C．D．
5．如图，在中，，分别是边上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，
A．B．C．D．
6．如图，是的中线，点是的中点，连接、，若的面积是8，则阴影部分的面积为
A．4B．2C．6D．8
7．如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且，则的面积等于
A．B．C．D．
8．的三边分别为，，，若，，的长为偶数，则
A．2B．4C．6D．8
9．如图，中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则等于
A．B．C．D．
10．如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠至位置，点的对应点为．若，，则的度数为
A．B．C．D．
11．以下说法正确的有
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．
A．5个B．4个C．3个D．2个
12．如图，把沿翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是
A．B．C．D．
13．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为
A．B．C．D．
14．如图，一副直角三角板如图所示摆放，，，．顶点在边上，且，则的度数是
A．B．C．D．
15．如图，是的角平分线和的交点，于点．若，则的度数是
A．B．C．D．
16．如图，已知，，，则等于
A．B．C．D．
17．如图，在中，平分，平分，平分的外角，连接，若，则的度数是
A．B．C．D．
18．如图，已知中，，，为上一点，将沿折叠后，点落在点处，且，则的度数是 ．
1．如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是
A．是的中线B．是的角平分线
C．D．是的高
2．如图，于，于，于，于，在中，边上的高为
A．B．C．D．
3．如图，中，平分，点在线段上，且交的延长线于点．若，，则的度数为
A．B．C．D．
4．中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为
A．B．C．D．
5．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为
A．B．C．D．
6．如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
7．如图，，，，、相交于点，则度数是
A．B．C．D．
8．在中，，分别是、上的点，过点作，，垂足分别是点，，连接，若，，则下面三个结论：
①；
②；
③．
其中正确的是
A．①③B．②③C．①②D．①②③
9．如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离，我军战士想到一个办法．他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点；然后转过身，保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点上；最后，他用步测的办法量出自己与点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由是
A．B．C．D．
10．如图，在等腰三角形中，，，于点，点是的延长线上一点，点在的延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④．其中正确的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
11．如图，在中，，，于，于，与交于，则 ．
12．有一张三角形纸片，已知，，点在边上，请在边上找一点，将纸片沿直线折叠，点落在点处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为 ．
13．如图，在中有两个内角相等，且是的角平分线，，．若，则 ．
14．如图，将沿方向平移到、、在同一条直线上），若，与相交于点，和的平分线、相交于点，则 ．
15．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动．则当与全等时，时间为 ．
16．已知点、，以点、、（点不与点重合）为顶点的三角形与全等，则符合要求的点坐标可以是 ．
1．如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长交于，的垂直平分线分别交，于点，点，连接，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．以下说法正确的有 个
①；②；③；④；⑤若，则
A．2B．3C．4D．5
3．如图，在中，和的平分线、相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是
A．①②B．②③C．①②③D．①③
4．如图，为的角平分线，为上一点，且于，，给出下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤四边形的面积是面积的2倍．其中正确的有 个
A．5B．4C．3D．2
5．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：
①；②；③的面积等于四边形的面积；
④⑤
其中正确的是
A．①②④B．③④⑤C．①③④D．①③⑤
6．如图，在钝角中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点，取中点，中点，连接、、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，，则下列五个结论：
①；
②；
③；
④是等边三角形；
⑤平分．
其中，正确的是 ②③④⑤ （只填写序号）
8．如图，和都是等腰直角三角形，，，，分别与、交于点、．下列结论：①；②；③；④．所有正确结论的序号是 ．
9．如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，以点为圆心，3为半径的圆分别交、于点、，与交于点．并与交于点，连结、．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
（1）是的中点
（2）
（3）
（4）