2022~2023学年河北省保定市高二(上)期末调研数学试卷(解析版)

这是一份2022~2023学年河北省保定市高二(上)期末调研数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线的的倾斜角为，且，
直线的斜率，所以，
故选：A
2. 若数列为等差数列，且，则等于（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】依题意，.
故选：D
3. 直线与圆交于两点，则的面积为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为，
过点作于,由到直线的距离为,
则,
故的面积为.
故选：B.
4. 从2，3，5，7，11这5个素数中,随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，共有种选法，
其积为偶数，即两个数中有一个为2，共有4种选法，
所以概率为.
故选：A.
5. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，
则由，，得，
解得，
故，
故选：B
6. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 6
【答案】C
【解析】依题意，，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，
则四边形为平行四边形，
由椭圆的定义得，解得，
所以椭圆短半轴长.
故选：C

7. 从甲袋中随机摸出1个球是红球概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则是（ ）
A. 4个球不都是红球的概率B. 4个球都是红球的概率
C. 4个球中恰有3个红球的概率D. 4个球中恰有1个红球的概率
【答案】C
【解析】4个球都是红球的概率为，故B错误；
4个球不都是红球的概率为，故A错误；
4个球中恰有3个红球的概率为，故C正确；
4个球中恰有1个红球的概率，故D错误.
故选：C.
8. 如图,边长为2的正方形沿对角线折叠,使,则三棱锥的体积为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】取中点，连接，
则，
而平面，
于是平面，，，
又，则，
解得，，而，则，
，
所以三棱锥的体积为.
故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，为对立事件，则
B. 若，为互斥事件，则
C. 若，则，相互独立
D. 对于任意事件，，有
【答案】AB
【解析】若，为对立事件，则，故A正确；
若，为互斥事件，则，故B正确；
若，则事件，事件不一定相互独立，概率相等与事件独立没有关系，故C错误；
若事件，，相互独立，则，故D错误.
故选：AB
10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量，共面
【答案】ABD
【解析】因为，所以，
可得，则向量与向量的夹角为，故A正确；
因为，
所以，即B正确；
根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为
，所以C错误；
由向量，，，可知，
向量与向量，共面， 所以D正确.
故选：ABD
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 的面积为
D. 直线与圆相切
【答案】ACD
【解析】不妨设直线平行于双曲线的渐近线，
从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为，
设直线与直线相交于点，
联立方程组，解得，即，
又F1-c,0，结合中点坐标公式，可得，
代入双曲线，可得，整理得，，
对于A，双曲线的离心率，故A正确；
对于B，双曲线的渐近线，故B错误；
对于C，的面积，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
故直线与圆相切，故D正确.故选：ACD
12. 已知数列中，，，数列中，，则（ ）
A. 数列为等差数列B. 数列的前5项和为
C. 数列为等比数列D. 数列为等差数列
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，两边同除以得，
所以，则为等差数列，公差为0，首项为，
故A正确;
对于D，由A知，
所以，所以为等差数列，D正确;
对于C，由B知，
所以
所以正确;
对于C，由D知
所以不为常数，
故数列不为等比数列，C错;
故选：.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为____________.
【答案】8
【解析】∵焦点在轴上，由椭圆方程可知：，
∴，即.故答案为：8
14. 如图，在平行六面体中，是的中点，设，，.则____________.（用，，表示）
【答案】
【解析】由题意可知：.
故答案为：.
15. 已知数列的前项和满足：，数列的前项和满足：，记，则数列的前10项和为____________.
【答案】1033
【解析】，故当时，，
两式作差得：，即，
且，故，满足，故.
，故当时，，
两式作差得：，即为等比数列，
且故，
，
则数列的前10项和为：.
故答案为：1033
16. 已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为____________.
【答案】
【解析】如图，过点作于点，则，
由图知①，
由可得，②，
又点在抛物线上，可得，，
即③，
把①式代入②式，，
解得，，
回代入①可得，，代入③式整理得， ，
解得，或（舍去），故抛物线方程为：.
故答案：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求实数的值.
解：（1）由已知，，则M1,1，
半径，
所以圆的方程为；
（2）由直线，
即，
又直线与圆相切，可得，
解得.
18. 如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.

（1）求证：平面；
（2）若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.
解：（1）取中点，连接，

因为，是中点，
，
因为，是中点，
所以，
又，平面，
所以平面，又平面
又，平面
所以平面.
（2）因为为正三角形，所以.
过点作的延长线为轴，以为轴，
过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
，
设平面的法向量为，则
令，得
设与平面所成角为，.
与平面所成角的正弦值为.
19. 某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，…….
（1）写出和，并求出与之间的递推关系式；
（2）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.
解：（1），，
，
（2）
是以50为首项，为公比的等比数列.
，
20. 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”.

（1）判断事件，否相互独立；
（2）求事件，至少一个发生的概率.
解：（1）由题意可得相应组成的三位数字分别为111、115、151、155、511、515、551、555，基本事件总数为8个，
能被3整除的数有111，555共2个，故事件包含的基本事件数为2，
能被5整除的数有115，155，515，555共4个，故事件包含的基本事件数为4，
所以包含的基本事件数为1.
，，，则，
事件与事件相互独立；
（2）法一：.
所以事件，至少一个发生的概率为.
法二：.
所以事件，至少一个发生的概率为.
21. 如图,平行六面体的所有棱长均为2,底面为正方形,，点为的中点，点为的中点，动点在平面内.
（1）若中点为，求的面积；
（2）若平面，求线段长度的最小值.
解：（1）连接、、，
，
，同理，
是正方形对角线AC中点，
，且，
，
即，则，
.
（2）法一：
取中点，连接，，，
易得，故四边形是平行四边形，
，又平面 平面，
平面，同理，
平面 平面，
平面 ，且都在面内，
故平面平面，
则点必在上，且当时，长度最小，
，
由等面积法得：，解得，
故的最小长度为.
法二：
取为一组空间基底，
则，，
平面，
，代入整理得，
故，
动点在平面内，
，
，
故，
当且仅当时，有最小值为.
法三：
由第一问知，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
，，
同理，
，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设点，，
，
即，
故，
当且仅当时，有最小值为.
22. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.
（1）求椭圆的方程；
（2）记直线，的斜率分别为、，求的值；
（3）证明：直线过定点，并求该定点坐标.
解：（1）由已知得，，则，
故椭圆的标准方程为；
（2）法一：设，则圆的方程为：，
圆过，代入圆的方程得，
故；
法二：设，圆半径为r，则圆方程为：，
圆过，，由题意可设，
则；
（3）由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在，
设直线，，
则，需满足，
则，，
则，
结合第一问知，即，
即得，
化简得，
解得或，
当时，直线PQ方程为，直线PQ过点A-2,0，不合题意，
当时，直线PQ方程为，
故直线PQ过定点；
当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在，
圆G方程为，
令，则，此时不妨设，
则的方程为，即，
联立，得，解得或，
即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点，
故直线PQ过定点.