2023~2024学年广东省汕头市潮阳区高二(上)期末教学质量监测数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年广东省汕头市潮阳区高二(上)期末教学质量监测数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 拼音cha所有字母组成的集合记为，拼音yang所有字母组成的集合记为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】拼音cha所有字母组成的集合，
拼音yang所有字母组成的集合，
则.
故选：C.
2. 设，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】，则
故选：B
3. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为8，到轴的距离为5，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】由点为抛物线上一点，且到轴的距离为，可得，
又由点到的焦点的距离为，根据抛物线的焦半径可得，
即，解得.
故选：C.
4. 已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值为 （ ）
A. 恒为正值B. 等于0
C. 恒为负值D. 不大于0
【答案】A
【解析】根据已知条件可知，函数是定义域内递减函数，
若实数是函数的零点，那么可知，
因为
所以，故可知选A.
5. 设，，，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，，
，
如图所示，根据三角函数线，可得，即，
所以.
故选：D.

6. 设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为
A. 6B. 7C. 12D. 13
【答案】C
【解析】由,利用等差数列的性质可得：,又0，
∴>0,0的最大自然数n的值为12.故选C.
7. 已知函数，则（ ）
A. 在（0，2）单调递增
B. 在（0，2）单调递减
C. 的图像关于直线x=1对称
D. 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
8. 如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分,各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为．以此类推，操作次，若，则的最小值是（ ）

A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】由题意可知操作1次时有个边长为的小正方形，
即，
操作2次时有个边长为的小正方形，即，
操作3次时有个边长为的小正方形，即，
以此类推可知操作次时有个边长为的小正方形，即，
由等比数列前项和公式有，
从而问题转换成了求不等式的最小正整数解，
将不等式变形为，注意到，，且函数在上单调递减，
所以的最小值是11.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若直线与圆相切，则b的取值可以是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】AC
【解析】因直线与圆相切，所以，解得：.
故选：AC.
10. 已知一组样本数据，其中（，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数据 ， ，…， ，其中，则（ ）
A. 两组样本数据的样本方差相同
B. 两组样本数据的样本平均数相同
C. ，，…，样本数据的第30百分位数为
D. 将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5
【答案】AC
【解析】由题意可得：，
∵，则，，故A正确，B错误；
由于求第30百分位数：15×0.3=4.5，故为第5个数，
的排列为：，
因此，第30百分位数为，C正确；
将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，
新样本的平均数为，D错误，
故选：AC．
11. 在长方体中，已知，，点在线段上运动（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 平面平面
D. 若点是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】点在线段上运动（不含端点），平面，,
,, A错误；
以D为原点，，，所在方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，，，
∴，令，则，
又，
所以点到平面的距离，从而,B正确；
由题可得，，平面,平面，

从而平面，平面，因此平面平面，C正确；
由点P是线段的中点，则是直角三角形，外接圆圆心为AD中点，
是直角三角形，外接圆圆心为中点，过两个中点分别作所在平面的垂线，这两条垂线的交点刚好是中点，

即三棱锥的外接球的球心是中点，又，
因此外接球半径为，球表面积为，D正确.
故选：BCD.
12. 设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（ ）
A. B.
C. D. 、、三点共线
【答案】BC
【解析】如图所示，设切点为，内切圆半径为，
对于A，由椭圆方程得，
则，
所以，，
所以，故A错误；
由题意得
，
又因为，解得，B正确；
从而，
所以，
所以，而，
所以，，C正确；
由题知，若、、三点共线，
则为的中线，
又因此时为的角平分线，
所以只能是时，上述成立，
而在上且在第一象限，
所以、、三点不可能共线，D错误.
故选：BC
第II卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，则得到了函数为______．
【答案】
【解析】根据三角函数的图象变换得：将的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到了函数的图象.
故答案为：.
14. 已知数列为等比数列，，则__________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
因为，可得，可得，
所以
故答案为：.
15. 如图，正方形中，，是线段上的动点且（），则的最小值为______．
【答案】
【解析】因是线段上的动点，不妨设,则，又，
则
,
又，故得：，解得：.
因，于是由，
当且仅当时等号成立，即时，的最小值为.
故答案为：.
16. 定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为双曲线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】如图所示，可得，
要使得最小，则最大，即取得最小值即可，
设，则，可得，
又由圆，可得圆心，
则，其中，
当时，，此时，
所以，
即最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的内角的对边分别是，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
解：（1）由，得，
由正弦定理，得，
由于，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理，得，
又，所以.①
又的面积为，即，即，即.②
由①②得，
则，
得.所以的周长为.
18. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求x值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
（2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
解：（1）由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间内的频率分别为，
所以阅读时长的平均数.
（2）由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，
则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为，
从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：
，共15个，
其中抽取的人都在内的有，共6个，
所以所抽取2人都在内的概率．
19. 已知正项数列的前项和，满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求．
解：（1）当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）由（1）可得，
，
.
20. 如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
，，
因为在上，故可设，又，
所以，解得，
所以，

，
，即
，平面．
所以平面．
（2）设平面的一个法向量为，
，
则，，
令，得，
，
所以所求的距离为；
（3）由（2）知，，，
与所成角为，
则
所以直线与平面所成角正弦值为．
21. 随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．
（1）求h的值；
（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）
参考数据：
解：（1）在中，
，
则有，整理得，即，解得，
所以h的值为10.
（2）由（1）知，，当时，，
即有，
取常用对数得：，
解得，
而，则，
所以服装价格降到60元每件时需要14天.
22. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
解：（1）由题意，椭圆的离心率为，可得，
又由椭圆的定义，可知，所以，所以，
又因为，所以，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）设，直线的方程为，
由，
整理得，
则有，，
故
，
又由直线的方程为，设，，
联立方程组，整理得，
则有，，
则，
所以四边形的面积：
，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，
综上，四边形ACBD面积的最小值为．