2023~2024学年河南省焦作市沁阳市高二(上)期末模拟数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年河南省焦作市沁阳市高二(上)期末模拟数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了 命题“”的否定是， 关于x的不等式的解集是， 设向量，满足，，则， 设双曲线C等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是：，
故选D.
2. 已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. 当时，D. 当时，
【答案】D
【解析】因为是等差数列，前项和为，由得：
，即，即，
对于选项A：由得，可得，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，若，则，故选项C正确；
对于选项D：当时，，则，因为，所以，，
所以，故选项D不正确，
故选：D
3. 关于x的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】由题意，不等式≥0，可得，即，
解可得，{x|3＜x≤1}
故选C．
4. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，取，，可得A错误；
对于B，取，，，可得B错误；
对于C，根据幂函数的单调性，可得，可得C正确；
对于D，取，，此时，，可得D错误；
故选：C
5. 在中，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
所以，
由正弦定理可得，即，
因为A为三角形内角，，
所以可得，
即，
又，
所以．
故选：B．
6. 观察下面数列的特点，，___，用适当的数填空（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】观察可知，数列的前2项都是1，从第3项开始每一项等于它前2项的和，
所以空的一项为5，
故选：C．
7. 设向量，满足，，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】因为，，
以上两式相减可得，，
所以，
即，
故选：D.
8. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】命题“,”为真命题的充要条件：,恒成立.
即,.故其必要不充分条件为.
故选：D.
9. 设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】∵双曲线的两条渐近线互相垂直，
∴渐近线方程为，
∴．
∵顶点到一条渐近线距离为1，
∴，
∴，
∴双曲线的方程为，焦点坐标为，
∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．
10. 如图，在矩形中，，四边形为边长为2的正方形,现将矩形沿过点F的动直线l翻折,使点C在平面上的射影C1落在直线AB上，若点C在直线l上的射影为C2，则的最小值为（ ）

A. 613B. 2C. D.
【答案】A
【解析】由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
则,
因为直线l过点,则设其方程：
，．
当时，可知点C1与点B重合，
此时，；
当时，直线的方程为，
∴，，
．
∴,
令，则，
所以
，
当且仅当，即，时，取等号；
综上所述，的最小值为613，

故选：A．
11. 过抛物线焦点的直线与抛物线的交于点A，B，O是坐标原点，且满足，，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】不妨设直线的斜率，过，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，
过作于，由，
，，
即，
为的中点，即，
，
由，且，
由，设直线的倾斜角为，则，即直线斜率为，直线的方程，
，整理得：，
则，则，
所以，即，解得或（舍去）
故选：A
12. 如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】D
【解析】过点作，垂足为点，设，，且，，
由题意可得，，
所以，
，
因为，
令，则
，
当且仅当时，等号成立，
故（千米）.
故选：D.
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 已知的三边，，，则角A的大小是 ________．
【答案】
【解析】因，，，
由余弦定理，
则.
∵，∴．
故答案为：．
14. 已知为数列的前项和，满足，则的值为____________.
【答案】8
【解析】依题意，，，
当时，，
当时，由得，
两式相减并化简得，
所以数列从第二项起是公比为的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：
15. 已知点在离心率为的椭圆上，则该椭圆的内接八边形面积的最大值为_____．
【答案】
【解析】由点在椭圆，得，
又因为，，得，
由于椭圆可以看做是用一个不平行底面的圆去截圆柱所得的图形，如图所示
且椭圆在底面的摄影是底面圆，其中，
由射影的性质可知，为两平面的二面角的平面角
记椭圆内接八边形面积为，对应的在底面圆上的射影也是八边形，面积为
所以，即，
其中，，底面圆半径
由平面几何知识易知圆内接八边形中内接正八边形面积最大为
所以椭圆内接八边形面积最大为
16. 已知正数､满足，则的最大值是___________.
【答案】-1
【解析】由题意，，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
∴的最大值是.
故答案为：
三．解答题（共6小题，满分70分）
17.已知条件：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.条件:“方程表示双曲线”，其中，.
（1）若条件成立，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
解：（1）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则，，且，解得，
所以的取值范围为
（2）若方程表示双曲线，
则，解得或.
若是充分不必要条件，则
所以或，
解得或，所以的取值范围为
18. 在中，．
（1）求的大小；
（2）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件并求的面积．
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，．
注：条件选择错误，第（2）问得0分．
解：（1）由余弦定理，又，可得，所以，又因为，所以
（2）由（1）知，，根据条件②中，，所以也是唯一确定的，从而可得也是唯一确定的，再由，代入正弦定理计算可得边也是唯一确定的，故选择条件②.
因为，，所以．
由正弦定理，可得，
所以
所以三角形面积
19. 已知数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）因为数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，
所以设数列公差为，数列的公比为，
因为，，，
所以，
解得，
所以，
，
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（2），
所以，①
所以，②
①②，得
所以.
20. 已知椭圆E：的离心率，并且经过定点（0,1）.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于 A，B 两点，满足，若存在，求 m 值，若不存在说明理由．
解：（1）因为椭圆E经过点，所以，
又因为椭圆E的离心率为，所以，
所以椭圆E的方程为： ．
（2）设
（*）
所以，
，
由，
得解得．
又方程（*）要有两个不等实根，.
m的值符合上面条件，所以．
21. 如图，已知直角梯形与等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断直线与平面的位置关系，并说明理由．
解：（1）取中点G，连结，
由已知可得是平行四边形，所以，所以
又平面平面，平面平面
所以平面，又平面，所以 .
（2）因为平面平面，
平面平面,
所以平面，由（1）知,
如图，以C为坐标原点，以为轴，
建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，
则，即 ，所以，
设平面的法向量为，
则，即，所以,
，
所以二面角的余弦值为.
（3）直线与平面相交．平面BCE的法向量为，
因为，所以直线与平面相交．
22. 过点的直线与抛物线交于两点，是的焦点．
（1）若线段中点的横坐标为，求的值；
（2）求的取值范围．
解：（1）由抛物线，可得，设，
因为线段中点的横坐标为，可得，
由抛物线的定义知，
所以.
（2）由直线过点，可设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则，解得，且，
则，
所以的取值范围为.