2023~2024学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线的斜率为，设直线倾斜角为，
则，，．
故选：C．
2. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，，
若，即，又由，则有，
依次分析选项：
对于A，，，，即成立，符合题意；
对于B，，，，即不成立，不符合题意；
对于C，，，，即不成立，不符合题意；
对于D，，，，
即不成立，不符合题意．
故选：A．
3. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺,前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】C
【解析】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种
这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和，
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，
得，解得，，
所以谷雨日影长为（尺）．
故选：C
4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】A
【解析】方程，即表示焦点在轴上的椭圆，
，解得．
故选：A．
5. 椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意可得，
由是，的等比中项，
可得，可得，
所以．故选：B
6. 已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为等比数列首项为，
若，则，
可得，解得，
所以．
故选：．
7. 若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为圆上总存在两个点到点的距离为，
所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，
则圆与圆相交，
所以，即，
解得：且，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
8. 已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，，
所以，，，
又由双曲线的定义可知，
设的内切圆的半径为，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示：
由内切圆的性质可得，，，
因为，所以，
即，由，
所以，，因为，，
所以，即点到焦点的距离是．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知双曲线：，则（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的虚轴长为
C. 双曲线的实半轴长为
D. 双曲线的渐近线方程为
【答案】AB
【解析】双曲线：的标准方程为，
则双曲线的实半轴长、虚半轴长，
半焦距，
所以双曲线的离心率，故A正确；
双曲线的虚轴长为，B正确；
双曲线的实半轴长为，故C错误；
双曲线的渐近线方程为，故D错误．
故选：．
10. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】，
所以二面角的大小可能为或．
故选：BC
11. 已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（ ）
A. 当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆
B. 当时，点轨迹为除去，两点的圆
C. 当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线
D. 当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线
【答案】ABC
【解析】根据题意知：，，设，
对选项，，
化简可得，
点的轨迹为除去,点的椭圆，故A正确；
对B选项,，,
化简可得，，
点的轨迹为除去，两点的圆，故B正确；
对C选项，，,
化简可得，,
点的轨迹为除去，两点的双曲线，故C正确；
对D选项，,
化简可得，,点的轨迹不是除去，两点的抛物线，故D错误．
故选：ABC
12. 数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（ ）
A. 是数列中的项
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. 数列的前项和
D. 数列的前项和
【答案】BCD
【解析】数列满足，，
可得，即有，即，
由，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
即为，即数列是首项为，公比为的等比数列，则，故B正确；
令，解得，不为整数，故A错误；
，则，故C正确；
，，，
两式相减可得，
化为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线：与：平行，则 ______．
【答案】
【解析】因为两条直线平行，所以，解得．
故答案为：．
14. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ______．
【答案】
【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线，
作垂直轴于点，
若，则，
不妨设，则，
由勾股定理可知，则，
所以，解得，所以．
故答案为：．
15. 已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为______．
【答案】
【解析】当时，有，所以；
当时，由，得，即，
则有数列是等差数列，其中公差为，首项为，
可得，即，
所以，
若，则，即，
因为数列单调递增数列，且当时，；当时，，
所以满足的最小正整数的值为．
故答案为：．
16. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为__．
【答案】.
【解析】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，
由，得，即恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线的斜率，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：[1，+∞）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为的等比数列，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，
由，，
可得，，
解得，，
则；
数列是公比为的等比数列，且，
可得，
即有；
（2）由（1）知，
18. 已知圆：．
（1）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；
（2）若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．
解：（1）由圆：得圆心，半径，
当直线斜率存在时，设：，即，
所以，解得，
所以切线为，即，
当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线，
所以直线的方程为：或；
（2）设，则，
解得，；或，，
故所求圆的方程为或.
19. 如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）取的中点，连接，，
由正三棱柱性质可知平面，又，
平面，
可得，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空问直角坐标系，
则，
所以，
由于，
所以异面直线与所成角的余弦值为
（2）因为平面，
所以平面的一个法向量为，
则，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
20. 已知数列的前项和为，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
解：（1）由得，，即，
又，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由（1）知，，，
则，
数列的前项和．
21. 已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．
解：（1）由短轴长为，可得，即，
将代入可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理得：，得，，且，
因为，所以，所以，
即，即，
所以，整理可得：，解得，
所以直线的方程为：，即
22. 在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线．
解：（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线，
即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等，
设，则，化简得，
所以动点的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，设点，，
联立，得，显然，
由韦达定理可得，，
又因为直线的方程为，
将代入，可得，即点，
所以，
因为，则，
所以直线的方程为，
联立，得，则，
故，，
故G，，三点纵坐标相同，即三点共线．