2023~2024学年山东省济南市钢城区八年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市钢城区八年级(上)期末数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
2. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵使分式有意义，
∴，
解得：．
故选：D．
3. 对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 两D. 丁
【答案】B
【解析】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故选：B．
4. 如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由多边形的外角和等于度，可得．
故选：B．
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：
，
故选C．
6. 下列各选项中，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式=（x+2）（x-2），不符合题意；
C、原式=（m-2）2，符合题意；
D、原式=-2y（y-3），不符合题意．
故选：C．
7. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，
根据题意可得：，
故选：B．
8. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】解：，，
，
，平分，
，
，
是的中位线，
．
故选：A．
9. 已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移4个单位，向左平移2个单位得到，
∴向上平移4个单位，向左平移2个单位得到；
②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到，
∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到；
③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到，
∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到．
综上可知点D的坐标可能是或或，
故选D．
10. 如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于 ，．若将绕原点O 顺时针旋转，每次旋转， 则第2024次旋转结束时， 点A的对应点的坐标（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，设与轴交于点，与轴交于点，

∵原点为的对称中心，
∴点与点关于点对称，
∵点，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵ ，点
∴，
即点，点
∵绕原点O顺时针旋转，每次旋转，
∴，
，
即绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与位置重合，
∴点A的对应点的坐标为．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11. 分解因式：4－x2＝_______．
【答案】
【解析】解：直接应用平方差公式即可：．
故答案为：．
12. 已知，则分式的值等于__________．
【答案】
【解析】解：∵，设，
∴；
故答案为：．
13. 为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下：
则这户家庭月用水量的众数是______； 中位数是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】解：由表可得，
出现3次，出现的最多，
故答空1答案为：，
∵，，
∴第5第6个数据是和，
∴中位数是：，
故答空2答案为：．
14. 若关于x的方程有增根，则m的值为______.
【答案】6
【解析】解：两边同时乘以，得
，
由于关于x的方程有增根，
则，解得，
故将代入，
得．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若四边形的面积为，则平移距离为______．
【答案】3
【解析】解：中，∵，，，
∴，
∵沿向右平移得到，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形的面积等于15，
∴，
即，
∴，
即平移距离等于3．
故答案为：3．
16. 如图，中，对角线与相交于点F，，且，若点P 是对角线上一动点， 连接，将绕点 A 逆时针旋转使至，得连接，取的中点O，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为______．
【答案】2
【解析】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，且
∴四边形是菱形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转使得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是满足的线段，
当时，的值最小，
∵O是的中点，
∴
∴，
∴在点P的运动过程中，线段的最小值为2，
故答案为：2
三、解答题（本大题共 10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 因式分解：
（1）；
（2）；
解：（1）
；
（2）
．
18. 解分式方程：．
解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化成1得：，
经检验：x=3是增根，
原分式方程无解．
19. 先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
，
当时，原式．
20. “五一”假期很多人都喜欢外出旅游，面对各大媒体报道出的各景区游客火爆的现象， 学校人文社团对 个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用 m 表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5 组：
A组：；B组：；C组：；D组：；E组：下面给出了部分信息：
a．B组的数据：，，，，，，，．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中 E 组对应扇形百分比为， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这个地区“五一”假期出游人数的中位数是 百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如下表：
求这个地区“五一”假期的平均出游人数．
解：（1）由图像可得，
E的占比为：，
∴，
故答案为：；
（2）由题意可得，
D的数量为：，
∴C组的数据为：
∴条形统计图如下图所示，
；
（3）∵，，
∴第、个在B组中，分别是、，
∴中位数为：，
故答案：；
（4）由题意可得，
（百万），
答：这个地区五一平均出游人数是百万．
21. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．

解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 在边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
（1）作出关于原点O成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（______），（______）；
（2）把向上平移4个单位长度得到，画出；
（3）与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（________）．
解：（1）如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，，．
故答案为：；；．
（2）如图，为所求作的三角形；
（3）连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
故答案为：．
23. “元旦”期间，某电商想购进、两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍．
（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进、两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？
解：（1）设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，
根据题意，得，
解这个方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：每件商品进价为10元，每件商品的进价为5元；
（2）设购进商品件，则购进商品件，
由题意，可得 ，
解得 ，
答：种商品至少购进30件．
24. 阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：（1）分解因式：






（2） 求代数式 的最小值．


∴当时，代数式有最小值
结合以上材料解决下面的问题：
（1）若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ；
（2）分解因式：；
（3）当x为何值时，有最小值? 最小值是多少?
解：（1） 恰好是完全平方式，
，
即k的值是或；
（2）
，
，
；
（3）
，
，
∴当时，代数式有最小值．
25. 综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢?
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．
（1）请直接写出 和 之间的数量关系： ．
方法2：如图2， 取四边形四边的中点E， F， G， H， 连接，，， ，
（2）请直接写出与之间数量的关系： ．
（3）求证：四边形是平行四边形；
实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（4）请问能否实现这一设想?若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由．
（5）已知， 在四边形池塘中， 对角线AC与BD交于点O．，，，则求四边形池塘的面积．
解：（1），理由如下，
∵，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，，，
∴，
故答案为：，
（2）证明：∵E，H分别为，中点
∴．，
∵F，G分别为，中点
∴，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形，
（3）由题意得；
（4）能，如图所示，连接对角线，交于点O，
过点D作的平行线，过点B作的平行线
过点A作的平行线，过点C作的平行线
四边形即为所求，

（5）过H作于点M，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
26. 问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图，和都是等腰直角三角形，，点分别在边上，连接，点分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系．
问题探究：
（）甲小组发现：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明；
问题拓展：
（）两小组的同学继续探究：把 绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值．
解：（）∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：，；
（）是等腰直角三角形．
证明：连接，由旋转知，，
∵，，
∴，
∴，，
∵点分别是的中点，
∴分别是，的中位线，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，，
∴，，
∵，
∴
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（）由（）知，是等腰直角三角形，，，
∴点在的延长线上时，有最大值，
∴，
∴，
∴．选手
甲
乙
丙
丁
方差
月用水量（t）
户 数
2
3
2
2
1
组别
A：
B：
C：
D：
E：
平均出游人数（百万）