2023~2024学年河南省濮阳市高二(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年河南省濮阳市高二(上)期末数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由抛物线得：焦点在x轴上，开口向右，p=2，
所以其准线方程为，
故选：B
2. 已知向量与共线，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 6
【答案】C
【解析】因为向量与共线，
显然：,所以，
所以，
故．
故选：C.
3. 已知是公比为2的等比数列，若，则（ ）
A. 100B. 80C. 50D. 40
【答案】B
【解析】设的公比为，则，
所以，所以.
故选：B.
4. 已知直线与垂直，则（ ）
A. 0B. 0或C. D. 0或
【答案】B
【解析】因为，则有，解得或，故选：B.
5. 记数列的前项和为，已知，且，则（ ）
A. 6B. 5C. 3D. 1
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：C
6. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱中点，且，则（ ）

A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】底面为菱形，，
,
为棱的中点,
，
解得.
故选: A.
7. 若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列．令，则数列的前100项和为（ ）
A. 0B. C. D. 32
【答案】B
【解析】由数列的前两项都是奇数，因为两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数，
可得各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶， ，
所以数列的前若干项依次为，
将，，看作一组，每组个数的和为，
所以数列的前100项的和为．
故选：B.
8. 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（ ）（注：表示面积.）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，
则.
故，解得.
又，所以，所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列前项和，则（ ）
A. B.
C. 是等差数列D. 是递增数列
【答案】AC
【解析】，故A正确；
当时，，
当时，，不适合上式，故B错误；
从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确；
因为，故D错误.
故选：AC.
10. 已知曲线，则（ ）
A. 当时，曲线是椭圆
B. 当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线
C. 存在实数，使得过点
D. 当时，直线总与曲线相交
【答案】ABC
【解析】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确；
当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确；
令，整理得且，此方程有解，故C正确；
当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知圆和圆，则（ ）
A. 圆与轴相切
B. 两圆公共弦所在直线的方程为
C. 有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线
D. 两圆的公切线段长为
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径.
对于A，显然圆与轴相切，故A正确；
对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误；
对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；
对于，因为，所以公切线段长为，故D正确.
故选：ACD
12. 已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（ ）
A.
B. 点到直线的距离为
C. 存在点，使得平面
D. 动点在一条抛物线上运动
【答案】AD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
对于选项A，易知，设，
所以，又，
得到，所以，故选项A正确；
对于选项，因为，所以，又，
则在方向上的投影向量的模为，又，
所以点到直线的距离为，故选项B错误；
对于选项C，设平面的一个法向量为，
由选项A知，，，
由，得到，
取，所以平面的一个法向量为，
由，得到，
所以不存在点，使得平面，故选项C错误；
对于选项D，因为平面平面，所以，
所以点到直线的距离即点到点的距离，又点到直线与直线的距离相等，
即点到点的距离等于点到直线的距离,又面，面,
由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分，故选项正确，
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线方向向量，若所成角的余弦值为，则__________.
【答案】
【解析】设所成的角为.由题意知，
解得.
故答案为：.
14. 记等比数列的前项和为，已知，且，写出满足条件的一个的通项公式：____________.
【答案】（或者）
【解析】由可知公比不为1，
所以，
当时，，所以
当时，，所以，
故答案为：（或者）
15. 已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】设双曲线的半焦距为，则，
因为，所以，
在中，，所以为等边三角形，所以，
根据双曲线定义可得，
在中，由勾股定理可得，整理得，
所以，解得，
所以的离心率为.
故答案为：.
16. 已知数列的通项公式为，其前项和为，不等式对任意的恒成立，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由题意可得，
当为奇数时，，随着值的增大而减小，
所以，
当为偶数时，，随着值的增大而增大，
所以，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以当，时，，
所以，所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）设的公比为，
因为成等差数列，则，
即，解得或1（舍去），
所以.
（2）由（1）可知的前三项为，
则等差数列的首项为，公差为，
所以，即.
所以.
18. 如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）因为平面，平面，
所以，
又，
由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系.
又，为棱的中点，
易知.
所以，所以，
所以.
（2）因为平面，平面，所以.
由（1）知，
又，平面，
所以平面，即是平面的一个法向量.
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且.
（1）求的值；
（2）过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程.
解：（1）由题意可知圆的圆心为，半径.
因为，所以，从而，
即，两边平方整理得，
又因为，所以.
（2）由（1）知圆，点在圆上，
又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心，
显然直线的斜率不为0，设其方程为，
点到直线的距离为.
根据三角形的面积公式可得.
所以，解得，
所以直线方程为或.
20. 已知数列的各项都是正数，前项和为，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）求数列的前项和.
解：（1）在中，
令，得，
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知.
所以①，
②
①-②，得，
所以.
21. 如图,在斜三棱柱中,,且三棱锥的体积为.

（1）求三棱柱的高；
（2）若平面平面为锐角，求二面角的余弦值.
解：（1）设三棱柱的高为，
因为，所以，
又因为三棱锥的体积为，可得，解得，
即三棱柱的高为.
（2）过点作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
由（1）知，又因为为锐角，所以，
在中，，
所以.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为平面，可得平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为.

22. 已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值.
解：（1）依题意可得，
由，得，
所以方程为.
（2）易知不与轴平行，设其方程为，
由得，
由，得.
设，则①，
，即，
所以，
将①代入，整理得，即，解得或（舍去），
所以直线的方程为，即直线过定点.
令，则，
，
当，即时，最大，且最大值为.