2023~2024学年山东省青岛市莱西市九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省青岛市莱西市九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分）
1. 春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
2. 计算的结果是（ ）
A B. C. D. 13
【答案】B
【解析】解：
，
故选：B．
3. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：该几何体的左视图为一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：B．
4. 如图，数轴上点表示一个无理数，这个无理数可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意得：点P表示的数在和 之间，
A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
5. 不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D. 无
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
即，
故选：C.
6. 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设直线与交于点，与交于点，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，
为的一个外角，
，
直线，
．
故选：C．
7. 如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，连接，
∵直径，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A
8. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，
故选：D．
9. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】建立如图所示坐标系，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为
抛物线过，
,
,
,
把代入,
,
，
两壁灯之间的水平距离为，
故选：C．
10. 如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，，直线与轴交于点，则下列结论错误的是（ ）

A. B. ，
C. 当时，D.
【答案】D
【解析】解：、由在第一象限相交于点，，
则，
解得，故此选项正确，不符合题意；
、由，则，
∵在图象上，
∴，
解得，
∴点，，
由过，，
∴，
解得，故此选项正确，不符合题意；
、由，，再根据图象可知当时，，
故此选项正确，不符合题意；
、由上可知，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故此选项不正确，符合题意，
故选：．
二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）
11. 中国火星探测器“天问一号”到地球的距离约为公里，其中是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个______位数．
【答案】十
【解析】解：．
即它原来是一个十位数．
故答案为：十．
12. 2023年10月6日晚，在杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮以74比72战胜劲敌日本队，成功卫冕亚运会冠军．比赛时中国队5名首发队员的身高如下表：
第二节开始，身高的李月汝上场，换下身高的韩旭．设首发5名队员身高的方差为，第二节开始时，场上5名队员身高的方差为，则与的大小关系是______，（填“”，“”或“”）
【答案】
【解析】解：首发5名队员身高的平均数为：，
首发5名队员身高的方差为
，
第二节5名队员身高的平均数为：，
第二节5名队员身高的方差为
．
故．
故答案为：．
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
14. 如图，点是半圆上一点，是半圆的直径，是上不与，重合的一点，若，弦，则的长为______．

【答案】
【解析】解：如图，连接，

是半圆的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
∴的长为．
故答案为：．
15. 如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为______．
【答案】
【解析】解：过点作交于点，交于点，则，
四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
，
，，
，，
，
故答案为：．
16. 直线和抛物线（是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②抛物线与轴一定有两个交点；
③关于的方程有两个根；
④若，当或时，；
其中正确的结论是______．（填序号）
【答案】①②③
【解析】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故答案为：①②③．
三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
17. 已知：．

求作：，使其圆心在边上，且与都相切．
解：作的角平分线交于O，过O作于H，以O为圆心，为半径作，则即为所求．
．
四、解答题：（本题满分68分，共9道小题）
18. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
19. 在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）试估算口袋中白球有______个．
（2）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同，一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
解：（1）根据统计数据，摸到白球的频率接近，根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，
设白球有个，
则，解得，
故答案为：；
（2）将第一个口袋中个白球分别记为白1，白2，白3，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有种．
∴两个球颜色相同的的概率为．
20. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格，在相应序号处填空：
（2）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
解：（1）①“美团”的平均数是：
（千元）；
故答案为：6；
②把“滴滴”的这些数从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，
“滴滴”的中位数是：（千元）；
故答案为：5；
③“滴滴”的众数为4（千元）；
故答案为：4；
（2）选“美团”网约公司，理由如下：
两家公司月收入中位数，众数美团均大于滴滴，
因此选“美团”网约车公司．
21. 阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）如图（2），利用等腰直角三角形计算：______；
（2）如图（3），在等腰中，，若，求的值．
解：（1）由题知，
因为是等腰直角三角形，
所以．
则，
即．
故答案为：；
（2）过点作的垂线，垂足为，
因为，，
则，
所以．
在中，
，
所以，
在中，
．
所以．
22. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯的高（灯杆底部不可到达）．如图，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：）

解：过点作，垂足为，

∵四边形是矩形，
∴，，
设，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
∴，
该景观灯的高约为．
23. 某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，销售一段时间调研发现，每天的销售数量(件)与销售单价(元/件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）要使每天销售利润不低于1200元，应如何确定销售单价？
（3）在每天的销售量不低于60件的前提下，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
解：（1）设每天的销售数量件与销售单价元件之间的关系式为
把，代入得：
，
解得，
；
（2）设每天获利元，
即：，
解得：，，
由二次函数的性质和已知可得，，
定价不低于元而不高于元时，每天销售利润不低于元．
（3），
对称轴是直线，
又，
，
，
当时，随增大而增大，
时，取最大值，最大值是 元，
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润，元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）填空：①直线的表达式为______；
②当时，的取值范围是______；
（2）在轴上是否存在一点，使得最短？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线分别与直线交于两点，当时，求的值．
解：（1）①将点代入正比例函数，
得，
解得，
点坐标为，
将点，点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式为，
故答案为：；
②一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
当时，的取值范围是；
故答案为：；
（2）一次函数解析式为，
当时，，
点的坐标为，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时最短，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
；
（3），
，
当时，，两点的坐标分别为和，
，
，
解得或0（舍去），
当时，，两点的坐标分别为和，
，
，
解得或（舍去），
的值为0或．
25. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：

（1）取何值时，平分；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．
解：（1）由题意得：，，，，，
是的直径，
，
中，，
，，
，
，即，
，
，
当时，平分，
，
解得：，
当时，平分；
（2）如图，过点作于点，

，
，即，
，
，，
，即，
，
；
（3）存在某一时刻，使与相切．理由如下：
如图，过点作于点，

由（1）（2）知：，，，，，，
，
，
，
与相切，
，
，
，
，
，即，
解得：，
当时，与相切．
附加题 （本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容）
26. 如图，直线与轴交于点，与轴分别交于点，二次函数的图象过两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，当的值为多少时，平移后所得新抛物线与直线只有一个公共点？
（3）将抛物线沿轴向左平移个单位长度，所得新抛物线与原抛物线相交于点，当点在第二象限，求面积的最大值，并求此时的值．
解：（1）直线与轴交于点，与轴分别交于点，
，，
二次函数的图象过，两点，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）∵，
抛物线沿轴向右平移个单位长度的解析式为，
令，整理得，
由题意得，
解得．
（3）作轴，交直线于，
设，则，
，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，
抛物线沿轴向左平移个单位长度的解析式为，
把代入得，，
解得或舍去，
此时的值为．
队员
韩旭
金维娜
李梦
潘臻琦
王思雨
身高
207
180
182
190
175
摸球的次数
摸到白球的频率
平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
“美团”
①
6
6
“滴滴”
6.1
②
③
销售单价(元/件)
每天销售数量(件)