2024~2025学年山东省青岛市即墨区九年级(上)10月月考数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年山东省青岛市即墨区九年级(上)10月月考数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列式子是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A． ，是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C． ，未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D． ，整理可得，是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 根据下列表格的对应值：
可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ）
A. B. C. D. 无法判定
【答案】B
【解析】解：由题意，列出表格如下：
由表格可知，当时，存在一个的值使，即满足方程，
故选B．
3. 2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为，根据题意得：
，
故选：A．
4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列哪个条件不能判定▱ABCD是矩形的是( )
A. AC=BDB. OA=OBC. ∠ABC=90°D. AB=AD
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴ABCD是矩形，故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴ABCD是矩形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴ABCD是矩形，故C正确；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB=AD，
∴ABCD是菱形，故D错误．
故选：D．
5. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】解：点分别是四边形边的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
①若，则，则四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意；
②若，则，则四边形为矩形，故原说法错误，不符合题意；
③若四边形是平行四边形，不能判定与互相平分，故原说法错误，不符合题意；
④若四边形是正方形，则，，则与互相垂直且相等，故原说法正确，符合题意；
综上所述，正确的有④，共个，
故选：A．
6. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由对折可得：
矩形，




BC=8

由对折得：
故选C．
7. 如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A. 2B. C. 1.5D.
【答案】A
【解析】解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，
∴，
∵在菱形ABCD中，，
∴，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值为2，
故选：A．
8. 如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④；⑤，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ①③⑤C. ①②④⑤D. ①③④⑤
【答案】B
【解析】解：①，，
，
又，，
（故①正确）；
③，
，
又，，
，
（故③正确）；
②过作，交的延长线于，
，，
，
又③中，，
，
又，
（故②不正确）；
④如图，连接，在中，
，
，
又，
，
，
，
．（故④不正确）．
⑤，，
在中，，
（故⑤正确）；
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 已知关于x一元二次方程有一个根为，则______．
【答案】
【解析】解：将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：．
10. 如图，将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为6cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为600cm3，若设原铁皮的边长为xcm，则根据题意可得关于x的方程是 ___．
【答案】6（x−12）2＝600
【解析】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x−6×2）厘米，高为6厘米，根据题意列方程得，
（x−6×2）（x−6×2）×6＝600，即6（x−12）2＝600．
故答案是：6（x−12）2＝600．
11. 如图，菱形的面积为，对角线长，点O为的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是_____．
【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
12. 如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__．
【答案】4.8
【解析】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8．
故答案为：4.8．
13. 如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是_____．
【答案】
【解析】如图，连接交于点，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形为平行四边形，且，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，，
由勾股定理得：，
∴四边形的周长，
故答案为.
14. 如图，已知直线，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形，…；则点的坐标为______.
【答案】（2n，2n-1）
【解析】解：直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，1）；
∴以A1 B1为边作正方形A1B1C1A2，则A1B1=A1A2=1，
∴OA2=1+1=2，点A2的坐标为（2，0），C1的坐标为（2，1），
根据这种方法可求得B2的坐标为（2，2），故点A3的坐标为（4，0），C2的坐标为（4，2），
以此类推便可求出点Cn的坐标为（2n，2n-1）．
故答案为：（2n，2n-1）．
三、解答题：
15. 已知：线段，直线及直线外一点．
求作：矩形，使得边在直线上，垂足为，对角线的长度为．
解：如图，矩形为所作．
16. 解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）；
（3）；
解：（1），
，
，
，
，
解得：，；
（2），
，
，
或，
解得：，；
（3），
，
，
，，，
，
，
则，．
17. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围．
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴且，
∴且．
18. 一个不透明口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“扬”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从中任取一个球，球上的汉字是“扬”的概率为_____．
（2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“扬州”的概率．
解：（1）∵有汉字“美”“丽”、 “扬”、“州”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，
∴球上汉字是“扬”的概率为；
（2）树状图如图，
所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“扬州”的情况有4种，
则取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“扬州”的概率为．
19. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
解：（1）证明：∵，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
∵，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是正方形．理由如下：
证明：在中，，，是斜边上的中线，
，，
平行四边形是正方形．
20. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
21. [问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？
[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1＝3个长方体．
（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2＝＝3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1＝9个长方体．
（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2＝＝3条线段，所以图中共有 个长方体．
（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽共有 条线段，高共有 条线段，所以图中共有 个长方体．
[问题解决]
（5）由n×n×n个小立方块组成正方体中，长、宽、高各有 线段，所以图中共有 个长方体．
[结论应用]
（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
解：[问题探究]
（3）3×3×3＝27（个）．
故答案为：27．
（4）由题意，宽有：（条），
高有：（条），
长方体共有：3×6×21＝378（个）．
故答案为：6，21，378．
[问题解决]
（5）由题意，长、宽、高各有条线段，
∴图中共有个长方体．
故答案为：，n3(n+1)38；
[结论应用]
（6）依题意有：n3(n+1)38=3375，
∴，
解得n1＝5，n2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴5×5×5＝125（个）．
答：组成这个正方体的小立方块的个数是125个．
22. 如图所示，在中，，，，点从点出发沿CA方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿AB方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
解：（1）证明：由题意得，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）四边形能够成为菱形，理由如下：
由（）得，四边形为平行四边形，
若为菱形，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，四边形能够成为菱形；
（3）分三种情况：
①当时，如图，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
；
②当时，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当不成立；
综上所述：当为或时，为直角三角形．x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
1.29
2.76