2024~2025学年浙江省杭州市某校高一(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年浙江省杭州市某校高一(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
故.
故选：B.
2. 设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意，所以，
则复数在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D.
3. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，取，，但是无意义，
所以由“”推不出“”，
若“”，则，所以可得，
所以由“”可推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
因为，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除AB项；
当时，，则，又，则，故C项错误.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知可得，解得
，
，，.
故选：D．
6. 已知，，，则的最小值为 （ ）
A B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】由，则，
则
，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
7. 设集合，且，函数（且），则（ ）
A. 为增函数B. 为减函数
C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】D
【解析】当时，，时，在上不是增函数，
故A不正确；
当时，，时，在上为增函数，B不正确；
当时，，，为偶函数，故C不正确；
当时，，，为偶函数，故D正确.
故选：D.
8. 设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】A
【解析】由已知得，，则，
其中，
因为，
当时，，
当时，，
因为在区间上有且只有一个极大值点，所以，
解得，即，所以，
当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，此时，此时有一个极大值点，成立；
所以的最大值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9. 若，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
得，故，
当且仅当时取等号，所以选项A不正确；
对于选项B：若，，
，
当且仅当且，即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，，即，
由基本不等式有：，
当且仅当且，即时取等号，所以选项C正确；
对于选项D：，
又，得，所以，所以选项D正确.
故选：BCD.
10. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 角C可以为锐角B.
C. 的最小值为D.
【答案】BD
【解析】∵，
∴，即，∴，
又，∴C一定为钝角，故选项A错误；
由余弦定理知，，化简得，故选项B正确；
∵，
∴，故选项D正确；
∵，
∴，
∵C为钝角，∴，，
∴，当且仅当，
即时，等号成立，此时取得最大值，故选项C错误.
故选：BD.
11. 已知函数的定义域为，，，当时，，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 当时， D. 函数有个零点
【答案】ACD
【解析】对于A，，，
，即，
，即是以为周期的周期函数，
，A正确；
对于B，，∴fx图象关于点2，0对称，B错误；
对于C，当时，，
.
的图象关于点2，0对称，的定义域为，.
，满足，
当时，，C正确；
对于D，由得：，
的值域为，则由得：，
作出y=fx，的部分图象，如图所示，
由图可知，它们有个交点，故函数有个零点，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，，若，则的最大值为__________.
【答案】6
【解析】因为，，
令，得，解得或；
令，得，解得或；
所以，
又，，
作出的大致图象，如图，
结合图象可知的最大值为.
13. 已知函数，若对，总使成立，则实数的取值范围为 _______________.
【答案】
【解析】由题意可知在上的值域是在上的值域的子集，
在上单调递增，则其值域为，即；
在上单调递增，其值域为，
则，即且，
解得.
14. 已知平面向量满足， ，与的夹角为，，则的最大值是_____________________.
【答案】
【解析】由知，
作，，，
则，，，
所以四点共圆，设圆心为，半径为，
设，，
在中由正弦定理得，
则，，，
要使取最大值，则为锐角，所以，
则
，（为辅助角，），
当且仅当时取等号，
即的最大值是.
另解：极化恒等式：同方法1构图，取的中点，连接，
由极化恒等式有，，
由于，，所以，
则，
当且仅当三点共线时，取“=”，即的最大值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B (其中，且) .
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数a的取值范围.
解：（1）由或，，
当时，由，，．
（2）当时，若，或，
解得或，故的取值范围是．
16. 在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
（1）求的值；
（2）若点满足，求的最小值，并求此时的．
解：（1）因为为的三等分点（靠近点），所以，
所以，
所以
.
（2）因为，所以，
因为，
所以
，
所以当时，取得最小值.
17. 两社区和相距2km，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05.
（1）将表示成的函数；
（2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.
解：（1）由为直径可得，所以，
由题意可知，，
又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，
即时，，代入得，
所以，，
即关于的函数为.
（2）口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，
由（1）知
，
令，则可得，
，当且仅当时，等号成立；
且，所以，
即，此时，即，解得.
因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.
18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的最小值；
（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：
①；②.
解：（1）因为，所以，
所以，
由正弦定理可得，
又由余弦定理得，可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）设，，，，，的面积分别为，，，
①因为，所以，
又因，所以.
②由（1）中可得，所以，
在，，中，
同理可得：，
所以，，，
所以，
即，所以.
19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
（1）试判断集合是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
（3）证明：对于的非空子集，集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
解：（1）集合不具有性质，理由如下：
（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③.
（ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，
则有，即，不满足条件②，
综上所述，可得集合不具有性质.
（2）由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，
因为不是偶数，所以不合题意.
当时，由，得，即，或，
因为是偶数，不是偶数，所以不合题意.
所以集合，令，
解得，
显然，所以集合是集合的“期待子集”得证.
（3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，
使得均属于，不妨设，令，，，
则，即满足条件①，
因为，所以，即满足条件②，
因为，所以为偶数，即满足条件③，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.
再证必要性：
当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；
③偶数.
令，，，则由条件①得，
由条件②得，由条件③得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，所以，
因为，所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”，
综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.