2024~2025学年浙江省台金七校联盟高一(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年浙江省台金七校联盟高一(上)期中联考数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“至少有一个实数，使得”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】根据存在命题的否定可知，
至少有一个实数，使得的否定是，.
故选：D.
2. 学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，
故没有同学参加三项比赛，即.
故选：D.
3. 设，且，则下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：例如，则，故C错误；
对于选项D：，故D正确.
故选：D.
4. 如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】B
【解析】根据函数与关于对称，可知①④正确，
函数为单调递增函数，故③正确，
所以②不是已知函数图象.
故选：B.
5. 对于集合，和全集，“”是“”的什么条件（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】韦恩图所示：
由推出，反之由推出，
所以“”是“”的充要条件.
故选：A.
6. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象.
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（ ）
A. （2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价.
B. （2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价.
C. （2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变.
D. （2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变.
【答案】A
【解析】（2）直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，
又收入为0，说明降低成本，两直线平行，说明票价不变；
（3）：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜角变大，
说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了.
故选：A.
7. 已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，（为自然对数的底数，），则在区间上的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，可得，
因为在上单调递减，可得在上单调递减，
所以在区间上的最小值为.
故选：B.
8. 若集合时，，均有恒成立，则的最大值为（ ）
A. 1B. 4C. 16D. 64
【答案】B
【解析】要使不等式恒成立，则恒成立，
当取得最大值，时，取得最大值，
即恒成立，因为函数和都是增函数，
所以函数是增函数，
当时，，所以的最大值为4.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】对于选项A：例如，则，，即，故A错误；
对于选项B：因为，，则，
可得，所以，故B正确；
对于选项C：例如，则，，
即，故C错误；
对于选项D：因为，且，则，
可得，即，故D正确.
故选：BD.
10. 波恩哈德·黎曼（~）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A. B. ，，
C. 的值域为D. 为偶函数
【答案】ABD
【解析】通过题目信息可知对于有理数和无理数具有不同的取值，
且当为无理数时，：
对于A选项，代入验证易知其正确；
对于B选项，不妨设，根据的性质可得的最小值为，
当时，，当时，，
当时，若和中有无理数，则，
若和均为有理数，不妨设，其中，，，均为正整数，
则，，
若与互质，则，
若与有大于的公约数，则，
综上可得，B选项正确；
对于C选项，计算可知的函数值只能是有理数，C选项错误；
对于D选项，的定义域为，，，
对于任意的，当为无理数时，和均为无理数，
，
当为有理数时，可令，其中和是互质的正整数且，
则，，
综上可知对于任意的都有，是偶函数，D正确.
故选：ABD.
11. 若函数，当时，的最大值为，最小值为；则下列说法正确的是（ ）
A. 的值与无关B. 的值与无关
C. 函数，至少有一个零点D. 函数，至多有三个零点
【答案】ACD
【解析】对于选项AB：假设，，
则
，
显然，可知的值与无关，与有关，故A正确，B错误；
对于选项CD：令，可得，
构建，则，
可知为奇函数，
若，在单调递增，其图象如图所示：
可知y=gx与恒有1个交点，即恒有1个零点；
若，在单调递减，在上单调递增，
其图象如图所示：
可知y=gx与可能有1、2或3个交点，即可能有1、2或3个零点；
综上所述：函数，x∈R至少有一个零点，至多有三个零点，故CD正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】由，知是的子集，所以或或.
由集合中元素的互异性，知，所以，故，.
从而，而，故.
经验证满足条件.
13. 已知，若，，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为，若，，可知，
则，可得，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
14. 若函数，（，且）在区间上单调递增，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】可看作由函数与函数复合而成，
当时，因为为增函数，所以在上单调递增即可，
由对勾函数的单调性，只需，解得，
当时，因为为减函数，
所以在上单调递减即可，由对勾函数的单调性，
只需，解得，
综上，的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，.
（1）求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
解：（1）由已知得，
，
，，.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
若，即时，，符合题意；
若，即时，，所以，所以；
若，即时，，所以，所以，
综上，.
16. 设奇函数，（为自然对数的底数，）.
（1）求的定义域和；
（2），求函数的值域.
解：（1）因为，
令，可得，可知的定义域为；
因为是奇函数，则，解得，
可得，则，
即，可知是奇函数.
综上所述：
（2）由（1）可知，
令，则，
因为在上单调递减，
当时，；当时，；可知，即，
且在定义域内为增函数，则，所以的值域为.
17. 设函数.
（1）若，求证：在0，2内存在零点；
（2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围.
解：（1）由，
即，，
，，
当时，，由零点存在性定理知在0，2上存在零点；
当时，则，是零点，此时存在零点；
综上在0，2内存在零点.
（2）依题意得，且，是方程的两根，
由韦达定理得，，，
所以，
依题意，得在上恒成立，
因为，，所以只需，
令，，
令，则，在上单调递增，
所以时，，
，.
18. 函数满足：对任意实数，，有成立；函数，，，且当时，gx>0.
（1）求并证明函数为奇函数；
（2）证明：函数在0，+∞上单调递增；
（3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
解：（1）因为，
令，则，得f1=0；
令，则，得；
证明：，令，
依题意得，即f-x=-fx，
所以是奇函数.
（2）由得，即，
，，，则，则，
可得，
即，所以函数在0，+∞上单调递增.
（3）因为，，且函数为奇函数，
则，可知是偶函数，
且，
因为，可得，
因为是偶函数，且，可得，
又因为函数在0，+∞上单调递增，可得，
因为，则，可知，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：.
可得，解得，且，
所以的取值范围为.
19. 已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”.
（1）函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；
（2）若函数，求值；
（3）若函数，求，的取值范围.（用表示）
解：（1）①函数为偶函数，图象关于轴对称，
且在上递增，在0，+∞上递减，所以为“级函数”，且；
②在上递减，且此时；
在0，+∞上递减，且此时；所以不为“级函数”.
（2），y=fx的图象关于直线轴对称，
当时，，；
当时，，.
（3），易得，
①当，时，，即，
所以，令，
当时，在递增，在递增，
所以；
当时，在递增，在递增，在递减，
所以；
当时，在递减，在递增，在递增，
在递减，
所以；
②当，时，，即，
所以，令，
对称轴是，
在上递减，所以，
因为：；
故：当时，的取值范围为，
当时，的取值范围为，
当时，的取值范围为.