2025届江苏省南京市六校联合高三(上)11月联合调研数学试卷(解析版)

这是一份2025届江苏省南京市六校联合高三(上)11月联合调研数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，
令，则，
令，则，
所以或，
且，所以.
故选：C
2. 设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则的虚部为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】因为复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，
所以，所以，虚部为.
故选：D
3. 已知向量，，则（ ）
A. “”是“”的充分条件B. “”是“”的充分条件
C. “”是“”的必要条件D. “”是“”的必要条件
【答案】B
【解析】若，则，解得；
若，则，解得或；
故ACD错误，B正确；
故选：B.
4. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为，，，，，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.
故选：B
5. 已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积.
故选：C
6. 已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数 为偶函数，则
，因为，所以，则解析式为，
由函数解析式可知，，因为，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，所以在中，，
所以最高点的纵坐标为，即，所以解析式为，所以.
故选：D
7. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意得，，令，则
∵，∴，
即，∴，,
在△中，，
在△中，，
∴，
∴.
故选：A.
8. 已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，则，
因为，是函数在定义域上的两个极值点，则，，
因为
，代入，，
得，
解得.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，，直线：.为圆：上的动点，下列选项中正确的是（ ）
A. 若圆关于对称，则B. 与圆总有公共点
C. 面积的最大值为D. 面积的最小值为
【答案】BC
【解析】对于A，若圆关于对称，则直线过圆心，
则，解得，故A错误；
对于B，因为直线：，即恒过点，
又，所以点在圆内部，
所以与圆总有公共点，故B正确；
对于C，D，因为，且,
则直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
即点到直线的距离的取值范围为，
所以面积的取值范围为，
故C正确，D错误；
故选：BC
10. 根据气象学上的标准，从秋季进入冬季的标志为连续5天的日平均温度均低于.现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（ ）
A. 平均数为3，极差为2B. 中位数为7，众数为9
C. 众数为5，极差为6D. 平均数为4，方差为2
【答案】ABD
关键点：“连续5天的日平均温度均低于”，
将天数据从小到大排序为：，
A选项，，
，若，则，与平均数为矛盾，
所以A选项正确.
B选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，
第3个数是，第个数为，所以个数据都小于，所以B选项正确.
C选项，众数是，极差为，如，第天超过，
不符合，所以C选项错误.
D选项，，
，
，
若，则，矛盾，所以D选项正确.
故选：ABD
11. 若数列满足，则称数列为项数列，集合是由所有项数列构成，现从集合中任意取出两个数列，，记随机变量，下列选项中正确的是（ ）
A. 中有16个元素
B. 的所有可能取值为0，1，2，，
C.
D. 若的期望，则的最小值为32
【答案】ACD
【解析】对于A，数列中每一项均为1或2，只有两种可能，，
所以中有个元素，A正确；
对于B，数列，为中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，
所以不能取0，的所有可能取值为1，2，，，B错误；
对于C，根据数列中1的个数可得，集合中元素的个数共有个，
故中共有个元素，
当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同，
从项中选择项，和在项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反，
由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况，
所以，
故，C正确；
对于D；所以随机变量的分布列为：
因为，
所以
，
令，
所以数列是递增函数，
，D正确.
故答案为：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答）
【答案】56
【解析】第一个括号内取1时，第二个为；
第一个括号内取时，第二个，
所以展开式中的系数为，
故答案为：56.
13. 已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为______
【答案】
【解析】若函数有三个不同的零点，即有3个不同的根，
即y=fx与的图象有3个不同的交点，
作出y=fx的图象，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】，
∴
∴，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴，
∵为锐角，∴
∴
,
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的首项，且满足.
（1）求数列的通项；
（2）若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.
解：（1）设公差为，
方法1.，，
，.
方法2..
，，.
（2）由（1）知，
.
，
即，
，.
16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点.
（1）若点为中点，证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）如图所示：连接，
点、分别是，的中点，
，
又，且，
四边形是平行四边形，
，，
又平面，且平面，
面.
（2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A2,0,0，，，，，，，
设，，，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以，解得（负值舍去）
故，则平面的一个法向量是
，，
设平面的一个法向量是m=x,y,z，
则，取得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17. 在直角梯形中，已知，，，，.
（1）求；
（2）若动点，分别在线段，上，且与面积之比为，试求的最小值.
解：（1）作，垂足为，设，，，由于，则，，
又，所以
，
解得（舍去），
所以.
（2）设，
由（1）.
由题：，.
又，.
.
当且仅当时取等号
.
18. 已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与.
（1）求的方程；
（2）当斜率为1时，求直线的方程；
（3）求证：为定值.
解：（1）由，得，又因为，所以，
所以，所以：.
（2）由题知：，设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
联立，消去可得，
则，所以，
则，
又直线，互相垂直，则，设，
则，
联立，消去可得，
则，所以，
则，所以：.
（3）由题意可知， 的斜率不为0，设 ： ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 .
由可得，.
所以，，，所以.
所以，所以.
同理可得：，.
令，得.
当，，时，
直线的斜率.
所以：，
化简得：，即为：.
所以到的距离，
所以到的距离，
所以.
由（2）知，当时，，所以.
19. 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数.
（i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合.
（ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）的定义域为，
由，得，
①当时，，在上单调递增；
②当时，则当时，，单调递增；
则当时，，单调递减；
综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；
（2）（i）由，得，
设点和点，不妨设，
则曲线在点处切线方程为，
即；
同理曲线在点处的切线方程为；
假设与重合，则，
化简得，.
两式消去，得，则，
令，，由，
所以在上单调递增，所以，即无解，
所以与不重合，即对于曲线在任意两个不同点处的切线均不重合.
（ii）当时，先解决对于，不等式恒成立，
令，，则在上恒成立，
由，解得.
下面证明当时，在上恒成立.
则当时，，令，
则，
则当时，由，，则，
则在上单调递增，所以；
当时，令，
则，则在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以成立，
所以对于，不等式恒成立时，实数的取值范围为.
所以，使得成立时，的取值范围为.1
2
3