2025届重庆市部分学校高三(上)12月月考数学试卷(解析版)

这是一份2025届重庆市部分学校高三(上)12月月考数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，所以，
由，解得，所以，，
故选：C．
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，
由得
所以，解得
∴．
故选：A．
3. 已知正方形的边长为1，设点M、N满足，.若，则的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：以为原点，建立平面直角坐标系，

因为正方形的边长为1，
可得，，，，
，，
，，，，
，故，
，
故时，的最小值是，
故选：．
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，
所以，可得，
因为，所以，可得，
又由，可得，
所以.
故选：D.
5. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（ ）
A. B. C. 15D. 20
【答案】C
【解析】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的底面积为，高为，
故圆柱的体积为，
故，
球的表面积为，圆柱的表面积为，
故，
故，展开式中的通项公式为，
令，解得，故常数项为.
故选：C
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数在区间上单调递减，则m的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，将函数图象向右平移个单位长度，
得到的图象对应的函数的图象，
因为在区间上单调递减，
所以且，
解得，即，
令，可得的最小值为.
故选：D.
7. 在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列中，最大项和最小项分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，即，
，即，故，，
①当，时，，，故，
，，故；
②当，时，，，故，
，，；
③当时，且，，
故；
综上所述：中，最大项和最小项分别为.
故选：B.
8. 已知函数满足，当时，，则（ ）
A. 奇函数B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】令，，，所以；
令，，则．
令，得，故为偶函数．A错误，
任取，，，则，
则，故在上为减函数．
由已知，可得，故，解得，且．B错误，
若，则，C正确，
若，则，，
，所以，故D错误，
故选：C．
二、多项选择题：
9. 已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①；②；③（ ）
A. 标准差为100
B. 及格率超过
C. 得分在内的人数约为997
D. 得分低于80的人数和优秀的人数大致相等
【答案】CD
【解析】由题意知，，
A：标准差：，故A错误；
B：
，
，故B错误；
C：，
人，故C正确；
D：，
因为成绩服从标准正态分布，
，故D正确.
故选：CD
10. 已知函数的极大值点为，则（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】,
,
令，或,由题意可知，.
函数的极大值点为，
或.即或.
所以，A正确，，B正确，
，时，正确，时错误，则C错误，
，D正确.
故选：ABD.
11. 如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）
A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B. 当时，三棱锥体积为
C. 当时，三棱锥的外接球表面积为
D. 当时，直线与平面所成的角的正弦值为
【答案】BD
【解析】设正方体的棱长为4，以为原点，以、、所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

对于A选项，时，在点，，由可知，所以截面即为四边形；由图形知，截面为五边形或六边形．故A错误．

对于B选项，当时，，所以，所以平面，，又平面，
所以，三棱锥体积为，故B正确．
对于C选项，当时，且平面，
所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上，
，，所以的中点，可记球心，，
外接球的半径，解得，，
所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误．
对于D选项，当时，，，，，，
所以，，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，，所以可取，
由平面知，平面的法向量为，
记平面与平面的交线的一个方向向量为，
则，令，则，，所以可取，
又平面的法向量为
，则，，，设与平面所成的角为，
则，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：
12. 若曲线与有一条斜率为2的公切线，则___________.
【答案】
【解析】设公切线在曲线与上的切点分别为，
由可得，所以，解得，
所以,则，
所以切线方程为，
又由，可得，所以，即，
所以，
又因为切点，也即在切线上，
所以，解得，
所以.
故答案为: .
13. 在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________.
【答案】
【解析】由，得，
即，因为，所以，
因为，所以，
由，两边平方，
所以，则.
故答案为：
14. 已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为______.
【答案】
【解析】根据题意作出函数y=fx的图象，如图所示，
令，解得或，令，解得或或，
由题意可知：与y=fx有三个交点，则，
此时，且，
所以，
令，
则恒成立，
所以在单增，
的最大值为，
即的最大值为.
四、解答题：
15. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程.
解:（1）设椭圆的方程为：，
因为椭圆的面积为，点在椭圆上.
所以解得：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）因为经过点的直线与曲线交于，两点，
当直线的斜率不存在时，，此时，
因为与椭圆的面积比为，但，即直线斜率存在；
不妨设直线的方程为，联立，
消去并整理可得：，
不妨设，则，
因为，
，
所以
，
因为与椭圆的面积比为，
所以，化简为，
即，即，
解得：，所以直线的方程为或，
所以直线的方程为或.
16. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
（1）求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
解:（1）由已知，解得，
所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A取值的范围；
（2）若，求周长的最大值；
（3）若，求的面积．
解:（1）由题设，
所以，
，
又，则，
根据正弦边角关系，易得，则，
又，则，当且仅当时取等号，
所以，结合，可得；
（2）由（1）有，又，
又，则，
所以，当且仅当取等号，
所以周长的最大值6.
（3）由，且，
所以，而，则，
由，显然，故，即，
结合，可得，
由，而，
由，整理得，可得（负值舍），
所以，故.
18. 如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.

（1）求证：；
（2）若底面，且，直线与平面所成角为.
（i）确定点位置，并说明理由；
（ii）求线段的长.
解: （1）在正方形中，，又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
则；
（2）（i）当为中点时，有直线与平面所成角为，
证明如下：由平面，可得
建立空间直角坐标系，如图所示：

则，
又为中点，则，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则有，即，令，则，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.
（ii）设点的坐标为，
因为点在棱上，所以可设，
即，所以，
因为是平面的法向量，
所以，即，
解得，故，则，
所以.
19. 已知数列的前n项和．若，且数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：数列的前n项和；
（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围．
解:（1）由题意知，
当时，，所以．
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以．
（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且．
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是．