2025届辽宁省大连市滨城高中联盟高三(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2025届辽宁省大连市滨城高中联盟高三(上)期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，则其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】复数，
所以复数的共轭复数，
故复数在复平面内对应的点的坐标，在第四象限.
故选：D．
2. 若且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】因为，则，
当，即，联立，得，时等号成立.
所以的最小值为.
故选：B
3. 圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（ ）
A. B. 24πC. D.
【答案】C
【解析】如图，圆台的轴截面为，上下底面圆的圆心分别为，
设与相交于点，因为为等腰梯形，且，
，，则圆台的高，
所以这个圆台的体积为.
故选：C.
4. 下列选项中，p是q充要条件的是（ ）
A. p：或，q：两条直线与平行
B. p：直线与曲线有两个不同交点，
C. 在圆外部，
D. p：直线与圆相离，
【答案】B
【解析】对于A，若两条直线与平行，
所以，解得或，但是当时，两直线重合，
所以，则p是q的必要不充分条件，故A错误；
对于B，，可得，，
所以，
表示圆心为0,1，半径的圆的上半部分，如图所示：
直线恒过点，一般式为，
因为直线与曲线有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得，
当时，左边圆上的端点为，此时斜率为，
所以，
所以p是q的充要条件，故B正确；
对于C， 圆半径，
即，所以，
因为在圆外部，
所以，解得，
综上，所以p是q的充分不必要条件，故C错误；
对于D，圆化为标准式为：，
圆心为0,1，半径为，
若直线与圆相离，
则圆心到直线的距离为，
两边平方化简得，综上，
所以p是q的充分不必要条件，故D错误；
故选：B.
5. ，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】因为，，
所以，解得，，
所以，
所以，
故选：C.
6. 函数，若在上有且只有四个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，得.
由于，所以.
又因为在上有且只有四个零点，
所以，解得.
故选：A.
7. 已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，圆的半径为，圆上存在点，
过点作圆的两条切线，切点为，使得，
则，在中，，
又圆的半径等于，圆心坐标，
，，
，
由，
解得：，则的取值范围为.
故选：D.
8. 直线是曲线和的公切线，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】对于，设切点为，求导得，
则在该点处的斜率为，
则切线方程为：，即，
对于，设切点为，求导得，
则在该点处的斜率为，
则切线方程为：，即，
因为是公切线，
所以，即，
所以，即，所以
即或，解得或，
当时，此时，，所以
当时，此时，，所以，
所以或，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，则面积最大值为3
D. ，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12
【答案】BCD
【解析】对于A：若，根据正弦定理则，
即，因为，所以或
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；
对B，因为，则，，
则根据正弦定理有， 故B正确；
对C，设，.
则，
，
所以
，
当时，三角形的面积取得最大值，故C正确；
对D，由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此，
当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确.
故选：BCD.
10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A. B. 的最大面积为
C. 存在点P，使得D. 的周长最大值是
【答案】ABD
【解析】对A，由题知，，则，
设Px0,y0，，
则，A正确；
对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确；
对C，，
则，C错误；
对D，由椭圆定义可知，，所以，
又，
所以，
当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确.
故选：ABD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱BD，，的中点，N点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）

A. 平面
B. 三棱锥的体积不是定值
C. 三棱锥的外接球的表面积是
D. 当直线和所成角最小时，线段长为
【答案】ACD
【解析】对于A，取中点，连接，由于分别为棱BD的中点，

所以有，且，
又因为，且，
所以，且，
则四边形是平行四边行，
即，又因为平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，由于，平面，平面，
所以平面，而N点在线段上运动，、
则点N到平面的距离不变，而为的中点，
所以三角形的面积是定值，即三棱锥的体积是定值，故B错误；

对于C，由直角三角形的外接圆心是点，再取的中点为，
则平面，即三棱锥的外接球的球心在上，
所以设，由棱长为2的正方体可知，
，，又因为，
所以，解得：，
即三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；

对于D，建立如图以为原点的空间直角坐标系，可知：，设点的坐标为，
则，
所以有令，则，因，所以，即
则上式
二次函数在递减，在递增，
所以在有最小值，即，
故上式有最大值，即，
此时线和所成角最小，所以此时，
则，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则________．
【答案】或.
【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
则， ， ，
所以椭圆的离心率，又，
所以，
设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
则，所以，
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，
所以或.
故答案为：或.
13. 如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为________．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以,
则，
假设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
假设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
假设平面与平面的夹角为，
则，
故答案为：
14. 已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为________．
【答案】
【解析】设，则其定义域为，且
，故为奇函数.
而，且仅在时，所以为增函数.
同时，不等式可化为，即.
而是奇函数，故原不等式又等价于，再根据是增函数，知这等价于.
当x>0时，这可化为，故条件即为对任意x∈0,+∞成立.
①一方面，在条件中取x=1，即可得到，从而一定有；
②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有.
首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于.
设，则，故对有，对有.
从而在上递减，在上递增，所以对均有.
这就意味着，所以
从而由即可得到.
这就证明了不等式对恒成立，从而原条件一定满足.
综合①②两方面，可知的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
解: （1）
，
由，则，则，
即，又B∈0,π，故；
（2）由正弦定理可得，
，
则
，
由为锐角三角形，，则有，解得，
则，由在上单调递增，故，
，，
故，故，
即周长的取值范围为.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，E，F分别是SC，BD的中点．
（1）求证：∥平面SAB；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线AD与平面BED所成角的正弦值．
解: （1）连接，因为ABCD是菱形，F是BD的中点，可知是的中点，
且E是SC的中点，则∥，
又因为平面SAB，平面SAB，所以∥平面SAB.
（2）取的中点，连接，
因为，则，
又因为，，平面，
所以平面，且平面，可知，
且点为的中点，则，
结合题意可知：，
又因为，在中，可得，
且，可知，
由平面，平面，
可知平面平面，且平面平面，
过点作平面的垂线，垂足为，
由面面垂直的性质可知，则，，
所以三棱锥的体积.
（3）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面BED的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以直线AD与平面BED所成角的正弦值为.
17. 已知函数，恒有．
（1）求实数a的值；
（2）证明：对任意的，有．
解: （1）由可得，
当时，因为，所以，即，
所以函数在上单调递增，
当时，，，不满足恒成立，
当时，令，即，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以在处取得最小值，，
因为恒成立，所以，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以在处取得最大值，
所以得解为.
（2）由（1）可知，则，，
，
要证，即证，
化简右边可得，
则只需证，
进一步化简得，
化简可得，
因为，所以，
则成立.
18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
解: （1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，所以；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，
则，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以，
因为，
所以.
综上，为定值0.
（ii）由（i）可得，
所以，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.
19. 新定义：在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数图象，即对于，直线与函数的图象至多有一个交点，则称为“旋转函数”．
（1）判断函数是否为“旋转函数”并说明理由；
（2）判断函数是否为“旋转函数”并说明理由；
（3）已知函数是“旋转函数”，求的最大值．
解: （1）函数不是“旋转函数”，理由如下：
如果是“旋转函数”，即和最多一个交点，
显然，当时，两条直线重合，有无数个交点，与“旋转函数”的定义矛盾，
所以：不是“旋转函数”.
（2）由题意可知,与函数的图象最多1个交点才能是“旋转函数”.
设,
.
由得,由得,
即在单调递减,在单调递增.
其中,
当时,和有两个交点，
所以不是“旋转函数”
（3）由题意,与最多一个交点,其中,
即与图象最多一个交点，
所以在上是单调函数，
，
，
因为，所以，
所以在上恒成立,
,所以，即
解得,即的最大值为.
由于，则在上不可能恒成立，
此时在上不是单调函数，则不是“旋转函数”，不满足题意.
综上：的最大值为.