中考数学一轮复习专题17 相似三角形（10个高频考点）（举一反三）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc258" 【考点1 比例的性质】 PAGEREF _Tc258 \h 1
\l "_Tc13452" 【考点2 比例线段】 PAGEREF _Tc13452 \h 2
\l "_Tc26158" 【考点3 黄金分割】 PAGEREF _Tc26158 \h 3
\l "_Tc10422" 【考点4 平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc10422 \h 6
\l "_Tc26185" 【考点5 相似多边形】 PAGEREF _Tc26185 \h 7
\l "_Tc15292" 【考点6 相似三角形的判定与性质】 PAGEREF _Tc15292 \h 9
\l "_Tc30668" 【考点7 网格中的相似三角形】 PAGEREF _Tc30668 \h 12
\l "_Tc6545" 【考点8 相似三角形中的动点问题】 PAGEREF _Tc6545 \h 13
\l "_Tc20691" 【考点9 相似三角形的应用】 PAGEREF _Tc20691 \h 15
\l "_Tc14858" 【考点10 位似变换】 PAGEREF _Tc14858 \h 17
【要点1 比例的性质】
【考点1 比例的性质】
【例1】（2022·浙江杭州·模拟预测）一组不为零的数a，b，c，d，满足，则以下等式不一定成立的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【变式1-1】（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【变式1-2】（2022·广东茂名·统考一模）若都是正整数，且，则的最小值是________．
【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）已知a、b、c、满足，从下列四点：① ；②(2，1)；③ ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是_______．
【要点2 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【考点2 比例线段】
【例2】（2022·江苏泰州·统考中考模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4B．1，2，3，4
C．3，5，9，13D．1，2，2，3
【变式2-1】（2022·湖北武汉·校考一模）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，则两地的实际距离为（ ）
A．600000kmB．6000kmC．600kmD．60km
【变式2-2】（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如果，且b是a，c的比例中项，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022·山西·校联考二模）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点．
(1)已知点、是线段的中段分点．
①若，，则 ；
②在图1中，若，，求的长．
(2)如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，．探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．.
【要点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【考点3 黄金分割】
【例3】（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点是正方形的边上线段的黄金分割点，且，表示以为边长的正方形面积；表示以为长，为宽的矩形的面积，表示正方形除去，剩余的面积，则：的值为______．
【变式3-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________．
【变式3-2】（2022·湖南娄底·统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点是的黄金分割点，即．延长与相交于点，则________.（精确到0.001）

【变式3-3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）数学活动一
宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足，即，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
【要点4 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【要点5 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．

平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．
【考点4 平行线分线段成比例】
【例4】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式4-2】（2022·宁夏银川·校考二模）如图所示，点O是矩形对角线的中点，交于点E．若，，则的长为___________．
【变式4-3】（2022·广西·统考中考真题）如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F．
(1)求证：DE是的切线
(2)若，求的半径．
【考点5 相似多边形】
【例5】（2022·河南·统考三模）取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2022·河北·模拟预测）如图所示的三个矩形中，其中相似形是
A．甲与乙B．乙与丙C．甲与丙D．以上都不对
【变式5-2】（2022·广东广州·广州市第六十五中学校考一模）如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2022·河北·模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【要点6 相似三角形的判定】
【要点7 相似三角形的性质】
【考点6 相似三角形的判定与性质】
【例6】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A．B．1C．D．
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是______．
【变式6-2】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知正方形的边长为4，为上一点，连接并延长交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为______．
【变式6-3】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．
【考点7 网格中的相似三角形】
【例7】（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；
(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．
【变式7-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考一模）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．
(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．
(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）
【变式7-2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）
（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为 ．
【变式7-3】（2022·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，的顶点都是格点（小正方形的顶点），且点D是AB边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）．
（1）如图1，在AC边上找点E，使与相似；
（2）如图2，在BC边上找点F，使与相似．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
【例8】（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．
【变式8-1】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
【变式8-2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：
(1)当时，求t的值；
(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)连结，当线段最短时，求的面积；
(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．
【考点9 相似三角形的应用】
【例9】（2022·浙江金华·一模）将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点．
（1）收纳盒的长_______；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有________本书可与边BC有公共点．
【变式9-1】（2022·广西·统考中考真题）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．
【变式9-2】（2022·上海·统考中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【变式9-3】（2022·湖南株洲·统考模拟预测）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AFMN．
(1)求⊙A的半径长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，．求此时拉杆BC的伸长距离．
【要点8 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； = 3 \* GB3 ③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
【考点10 位似变换】
【例10】（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4B．6C．16D．18
【变式10-1】（2022·重庆·统考中考真题）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ）
A．1∶2B．1∶4C．1∶3D．1∶9
【变式10-2】（2022·山东青岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是，先将△ABC绕点顺时针旋转90度得到，再以原点为位似中心作的位似图形，若与的相似比为1∶2，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式10-3】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）如图，在网格图中，与是位似图形．
(1)直接写出： ______ ；
(2)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点，点．
①以点C为位似中心，在网格中作出，使和位似，且位似比为1：2；
②在图上标出与的位似中心P，位似中心点P的坐标为______． 比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.
判定定理
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
如图，如果，，则
．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，如果，则
．
判定定理3：
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
①相似三角形的对应角相等．
如图，，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图，，则有
（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图，∽，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，∽，则有
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）