人教版数学九下期末复习训练专题06 锐角三角函数（重难点突破）（2份，原卷版+解析版）

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锐角三角函数概念
熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.
【例1】如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，
，
，
；
故正确的是B选项；
故选：B．
【例2】已知在中，，，则的值等于（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴可设，
则，
∴，
故选：D．
锐角三角函数之间的关系
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1）;
（2）.
【例1】已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵，为锐角，
∴，
∴．
故选：A．
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csA＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：sin2A+cs2A＝1，
∴，
∴，
故选C．
三、30°，45°，60°角的三角函数值及有关计算
熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键.
【例1】在中，，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：中，，，
∴,
故选：A
【例2】如图，在一块直角三角板中，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
四、利用计算器求锐角三角函数值或锐角
化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．
【例1】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：科学计算器计算，按键顺序是
故选：D．
【例2】用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：采用科学计算器计算，按键顺序正确的是B选项中的顺序．
故选：B．
五、对概念本质理解不透
锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定.
【例1】在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的 D．不能确定
【错解】A
【错因分析】误认为直角三角形各边的长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值也扩大为原来的3倍.
【解析】设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则csA=，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么csA==，
所以余弦值不变．
故选B．
【正解】B
一、单选题
1．如图，在中，，点是的中点，交于点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接BE，
∵D是AB的中点，
∴BD=AD=AB
∵∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
∵ ，
∴△BCD≌△BDE，
∴BC=BD=AB．
∴∠A=30°．
∴tanA=
即，
∴AD=3，
∴AB=2AD=6．
故选C．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝，
故选D．
3．如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】过点P作PA⊥x轴于A，
∵，
∴，
∴=4，
∵点在第二象限，
∴点P的坐标是（-3,4）
故选：B.
4．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（ ）
A．B．πC．πD．π
【答案】D
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ADC∽△CEB，
∴，即，
∵tan∠ABC＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴∠ACD＝∠ABC＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径为2，
∴的长为：＝π，
故选：D．
5．如图，地面上点A和点B之间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为=1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°．已知AM=8米，则BM大约为（ ）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
A．8.6B．10.7C．15.4D．16.7
【答案】B
【详解】如图，过E点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，
∵AC=10，坡比为=1：0.75，
∴CG=8，AG=6，
∴EF=ED+DF=6+8=14，
又∠B=40°，
∴BF===16.7，
又GM=AM-AG=2，
∴AF=AM-FG-GM=2，
∴BM=AB-AM=16.7+2-8=10.7，
故选B.
6．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵DE⊥BD，
∴OC∥ED，
∵DE＝6，
∴OC＝，
∴AC=6，
∵ABCD的面积为24，
∴，
∴BD＝8，
∴＝＝5，
设CF＝x，则BF＝5+x，
由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，
解得x＝，
∴DF＝，
∴sin∠DCE＝．
故选：A．
二、填空题
7．将放置在的正方形网格中，顶点、、在格点上．则的值为______．
【答案】
【详解】解：如图所示：连接，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
．
8．如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上，半径为2的与交于点，则____________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴在中，
∴．
故答案为：
三、解答题
9．计算：
（1）2cs230°﹣2sin60°•cs45°；
（2）
【答案】（1）；（2）1-2．
【详解】解：（1）原式＝2×（）2﹣2××
＝；
（2）原式＝﹣
＝﹣
＝﹣（+1）
＝1﹣2．
10．如图，，，是半径为2的上三个点，为直径，的平分线交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵中，，，
∴根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴在中，．
一、单选题
1．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得：，
解得，可得，
故选：B
2．如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点，和，，与相交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】解：连接格点，如图所示：
则四边形是平行四边形，和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
故选：A．
3．如图，在菱形中，，E是上一点，连接，将沿AE翻折，使点B落在点F处，连接．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：设与的交点为，设，则
由菱形的性质可得，，
由折叠的性质可得，，
则，
∴为等腰直角三角形，，
∴，即，
在中，，，
∴，
，
，
故选：D
4．在中，，都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（ ）
A．锐角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形
【答案】B
【详解】解：由，，得
，．
．
则对形状的判断最确切的是等腰直角三角形．
故选：B．
5．如图，已知直线l：，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；；按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵直线l的解析式为，设直线l与x轴的夹角为，
∴，即，
∴直线l与x轴的夹角为，
∵轴，
∴，
∵，轴，
∴
∴，
∵，且
∴，
∴，
∴，
∵
∴轴，
∴，
∴
∵，且，
∴
∴
∴，
∴
∴点的坐标为．
故选：C．
6．如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【详解】解：在正方形中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故①正确；
∵，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
在正方形中，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
则四边形的面积是正方形面积的，故③正确；
过点作，交于点，如下图：
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，故④正确；
由，设，则
，，，
过点作，如下图：
∵，
∴，
∴，
在中，，故⑤错误；
综上，正确的个数为4，
故选：C
二、填空题
7．计算：______．
【答案】
【详解】原式
．
故答案为：．
8．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，．若，，，则的值为________．
【答案】
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
同理，
四边形是菱形；
，
，
，，
，
，
如图，过点作于，
，，
，
，
在中，．
故答案为：．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
10．如图，在矩形中，，，对角线、交于点O，点M为线段上一点，联结，在内部作射线分别与线段、线段交于点N（不与点A、点D重合）、点P且．
(1)当时，求的正切值；
(2)射线交射线与点Q，若，求的长；
(3)设线段，，写出y关于x的函数解析式，并写出定义域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，过点M作于E，
即有，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当P点与D点重合时，与重合，
此时M点与C点重合，即有：，
当P点与A点重合时，此时A、N、P三点重合，的延长线交于G点，如图，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵点P不与点A、点D重合，
∴，
综上所述，．
重点
锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，利用计算器求锐角三角函数值
难点
锐角三角函数之间的关系
易错
混淆特殊角的三角函数值