人教版数学八下期末重难点培优训练专题03 解题技巧专题 二次根式中有关运算问题（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30512" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30512 \h 1
\l "_Tc28331" 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 PAGEREF _Tc28331 \h 1
\l "_Tc3188" 【考点二 整体代入求值】 PAGEREF _Tc3188 \h 5
\l "_Tc14366" 【考点三 新定义型二次根式的运算】 PAGEREF _Tc14366 \h 8
\l "_Tc12541" 【考点四 二次根式的分母有理化】 PAGEREF _Tc12541 \h 11
\l "_Tc29175" 【考点五 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc29175 \h 15
\l "_Tc3769" 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 PAGEREF _Tc3769 \h 19
【典型例题】
【考点一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）已知，则的值是（ ）
A．2022B．1C．－1D．0
【变式训练】
1．（2022·江西省于都中学八年级期中）已知a，b满足+（b+3）2＝0，则（a+b）2022的值为 _____．
2．（2022·福建省福州外国语学校七年级期中）已知x、y都是实数，且，则xy=______________．
3．（2021·四川成都·八年级期中）已知实数满足，则的值为_______．
4．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【考点二 整体代入求值】
例题：（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．
【变式训练】
1．（2022春·福建漳州·九年级统考期中）已知，完成以下两题：
(1)化简
(2)求代数式的值．
2．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)
3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列代数式的值：
(1)
(2)
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：（2022·江西新余·七年级期末）规定运算：，其中a、b为实数，则______．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·七年级期末）对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．
2．（2022·江苏·八年级）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．
3．（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．
(1)求的值．
(2)_____________．
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）对实数a，b，定义：，如：．
(1)求的值；
(2)若，试化简：．
6．（2022春·湖南·八年级期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如．
(1)填空：___________．
(2)若，求x的值．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：（2022·江苏南京·八年级期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：①______，②______；
(2)计算：；
(3)已知有理数、满足，则______，______．
【变式训练】
1．（2021·江西景德镇·八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，，
(1)______；______．
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
(3)利用上面的结论，求下列式子的值．
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）阅读下面问题：
…
(1)________（n为正整数）．
(2)________．
(3)求的值．
3．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）阅读下列解题过程：
；
；
；
……
解答下列各题：
(1)______；
(2)观察上面的解题过程，请计算.
(3)利用这一规律计算：
.
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（2020·江西景德镇·八年级期中）（1）填空：______；______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②
2．（2022·全国·八年级）我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空：= ；
= ；
(2)化简：++++．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；
(1)请仿照上面的方法来验证；
(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．
【变式训练】
1．（2022·河北承德·八年级期末）观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
2．（2022·安徽合肥·八年级期中）观察下列各式及验证过程：
＝，验证 ＝＝＝；
＝，验证＝＝＝；
＝，验证＝＝＝…
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
3．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简：____________；
②若（a，b均为正整数），则的值为____________．
4．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简：．