人教版数学八下期末重难点培优训练专题04 勾股定理（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16083" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16083 \h 1
\l "_Tc20765" 【考点一 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc20765 \h 1
\l "_Tc23183" 【考点二 勾股树(数)问题】 PAGEREF _Tc23183 \h 4
\l "_Tc2298" 【考点三 勾股定理与无理数】 PAGEREF _Tc2298 \h 5
\l "_Tc14946" 【考点四 用勾股定理解三角形】 PAGEREF _Tc14946 \h 6
\l "_Tc22882" 【考点五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 PAGEREF _Tc22882 \h 9
\l "_Tc26413" 【考点六 利用勾股定理求两条线段平方和(差)】 PAGEREF _Tc26413 \h 10
\l "_Tc12309" 【考点七 利用勾股定理证明线段平方关系】 PAGEREF _Tc12309 \h 12
\l "_Tc9842" 【过关检测】 PAGEREF _Tc9842 \h 15
【典型例题】
【考点一 勾股定理的证明方法】
例题：（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，．
(1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______．
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【考点二 勾股树(数)问题】
例题：（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．，，
【变式训练】
1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·八年级单元测试）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【考点三 勾股定理与无理数】
例题：（2023秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，数轴上点C所表示的数是___________
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是__________．
2．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）小刚学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴负半轴于点，那么数轴上点所表示的数是________．
【考点四 用勾股定理解三角形】
例题：（2022秋·山东济南·八年级校考期末）如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为___________cm．
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）长方形中，长，宽，点为直线上一点，当为等腰三角形时，_______．
【考点五 以直角三角形三边为边长的图形面积】
例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．
2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为，，，已知，，则______．
【考点六 利用勾股定理求两条线段平方和(差)】
例题：（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则______．
【变式训练】
1．（2022秋·宁夏中卫·八年级校考期中）在中，斜边长，的值为___________
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
【考点七 利用勾股定理证明线段平方关系】
例题：（2022秋·八年级统考阶段练习）如图，已知和中，，，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，，求证．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·八年级单元测试）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．3，4，5
C．2，8，10D．1，，
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为，，，已知，，则的值为（ ）
A．13B．17C．7D．169
3．（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）如图所示，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A．29B．32C．36D．45
5．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，，，，线段的垂直平分线交于点P和点Q，则的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
二、填空题
6．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在中，，，分别为和的中点，，，则______．
7．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为___________．
8．（2023春·八年级单元测试）如图，矩形中，，，在数轴上，且点表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_________．
9．（2022秋·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在中，，则的面积为 _____．
10．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，均在格点上，为上任意一点，则的值为________．
三、解答题
11．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，已知在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，求的长．
12．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，在中，，是中点，，是中点，于点．求的长．
13．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE．
(1)求证：△CEA≌△CDB；
(2)求证：．
14．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)填空：的长为 ；
(2)若为直角三角形，求t的值；
(3)若为等腰三角形，求t的值．
15．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
(2)如图2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系为______．
(3)如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．
16．（2022秋·安徽宿州·七年级统考期中）（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则___________
（2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为___________
（3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积．