人教版数学八下期末重难点培优训练专题06 勾股定理及逆定理的实际应用问题（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1232" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1232 \h 1
\l "_Tc8068" 【考点一 用勾股定理构造图形解决问题】 PAGEREF _Tc8068 \h 1
\l "_Tc12303" 【考点二 求梯子滑落高度】 PAGEREF _Tc12303 \h 4
\l "_Tc8427" 【考点三 求旗杆高度问题】 PAGEREF _Tc8427 \h 7
\l "_Tc22927" 【考点四 求小鸟飞行距离】 PAGEREF _Tc22927 \h 11
\l "_Tc30185" 【考点五 求大树折断前的高度】 PAGEREF _Tc30185 \h 13
\l "_Tc22077" 【考点六 解决水杯中筷子问题航海问题】 PAGEREF _Tc22077 \h 15
\l "_Tc15496" 【考点七 解决航海问题】 PAGEREF _Tc15496 \h 18
\l "_Tc15747" 【考点八 求河宽问题】 PAGEREF _Tc15747 \h 20
\l "_Tc494" 【考点九 求台阶上地毯长度】 PAGEREF _Tc494 \h 22
\l "_Tc30154" 【考点十 判断汽车是否超速】 PAGEREF _Tc30154 \h 24
\l "_Tc20817" 【考点十一 判断是否受台风影响】 PAGEREF _Tc20817 \h 27
\l "_Tc27158" 【考点十二 选址使到两地距离相等】 PAGEREF _Tc27158 \h 32
\l "_Tc27559" 【考点十三 求最短路径问题】 PAGEREF _Tc27559 \h 35
【典型例题】
【考点一 用勾股定理构造图形解决问题】
例题：（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右图为其示意图．若，线段的长为15cm，线段的长为20cm，试求出小木条的最短长度．
【变式训练】
1．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．
(1)_________米，_________米；
(2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）；
②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中米，米，米，米．
(1)求A，B两点的距离；
(2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长．
【考点二 求梯子滑落高度】
例题：（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为米，梯子的顶端下滑米后到达点，底端也水平滑动米吗？试说明理由．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
2．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）一架梯子长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离为5.1米．
(1)求梯子的顶端与地面的距离；
(2)如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？
3．（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m．
(1)求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度；
(2)当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长．
【考点三 求旗杆高度问题】
例题：（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期中）学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．
2．（2022秋·江西南昌·九年级深圳市南山外国语学校校联考阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
3．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．
(1)求风筝的高度；
(2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点M（即米），则他往回收线多少米？
【考点四 求小鸟飞行距离】
例题：（2021春·四川泸州·八年级统考期末）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？
【变式训练】
1．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
【考点五 求大树折断前的高度】
例题：（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）
2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．
(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．
【考点六 解决水杯中筷子问题航海问题】
例题：（2022秋·山东东营·八年级校考期中）《九章算术》是我国古代的一部数学专著，在第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何（葭即芦苇，一丈等于十尺）．这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
2．（2022·八年级单元测试）如图是长、宽、高的长方体容器．
(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
【考点七 解决航海问题】
例题：（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．
(1)求M点与小岛P的距离；
(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
【变式训练】
1．（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？
2．（2022秋·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
(1)根据题意可知：AC ．（填“”“ ”或“”）
(2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．
【考点八 求河宽问题】
例题：（2022春·云南昭通·八年级校考阶段练习）为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B＝90°），如图所示，通过测量得AC长为160m，BC长为128m，请求出图中A、B两点之间的距离．
【变式训练】
1．（2021秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，小明和小方分别在C处同时出发，小明以每小时2千米的速度向南走，小方以每小时1.5千米的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．
【考点九 求台阶上地毯长度】
例题：（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯．
（1）求地毯的长是多少米？
（2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？
【考点十 判断汽车是否超速】
例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方24米的处，过了1.5秒后到达处（），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
【变式训练】
1．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，，
(1)求AP的长？
(2)试判断此车是否超过了/的限制速度？（）
2．（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
(1)求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）
(2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【考点十一 判断是否受台风影响】
例题：（2022·全国·八年级专题练习）今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿方向移动，已知A市到的距离．
(1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
2．（2022秋·四川眉山·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
(1)求监测点A与监测点B之间的距离；
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
3．（2023秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路的一侧点处有一学校，学校到公路的距离米，若宣讲车周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上延到的方向行驶时．
(1)请问学校能否听到宣传，请说明理由．
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是256米分，求学校总共能听到多长时间的宣传．
【考点十二 选址使到两地距离相等】
例题：（2022秋·山东东营·七年级统考期中）如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．
2．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）站应建在距站多少千米处？
（2）和垂直吗？说明理由．
【考点十三 求最短路径问题】
例题：（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？
【变式训练】
1．（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
3．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．
(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．