人教版数学八下期末重难点培优训练专题08 思想方法专题：勾股定理中的方程思想（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29046" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29046 \h 1
\l "_Tc14977" 【考点一 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 PAGEREF _Tc14977 \h 1
\l "_Tc19729" 【考点二 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 PAGEREF _Tc19729 \h 8
\l "_Tc19900" 【考点三 实际问题中的方程思想】 PAGEREF _Tc19900 \h 10
【典型例题】
【考点一 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．
2．（2022·江苏苏州·八年级期末）如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．
3．（2022秋·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为___________．
4．（2022秋·山东济南·八年级济南育英中学校考期末）如图，已知长方形纸片，点在边上，且，，将沿直线翻折，使点落在点，延长交于点，则线段的长为________．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，求．
6．（2022·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．
(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；
(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
【考点二 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）如图，在等腰中， ，，垂足为，已知 ，．
(1)求与的长；
(2)点是线段上的一动点，当为何值时，为等腰三角形．
【考点三 实际问题中的方程思想】
例题：（2022春·河南安阳·八年级统考期末）如图，小强放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度OA．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线l向后拉开6米，发现风筝线末端B刚好接触地面，请你帮小强求出风筝距离地面的高度OA．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
2．（2022春·湖北十堰·八年级统考期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
3．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
(1)求旗杆距地面多高处折断（）；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
4．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
5．（2022秋·八年级单元测试）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．
（1）求小凳子的高度；
（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽．
6．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．
(1)应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ；
(2)应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB推至AC处，它的绳索始终拉直，量得水平距离，求绳索的长．