人教版数学七下高频考点突破练习专题04 不等式与不等式组的应用题（2份，原卷版+解析版）

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一元一次不等式（组）的应用题
应用题在中考中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就一元一次不等式（组）不等式的应用题：分配不足问题、方案问题、费用优化问题、利润问题、其他问题等问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
不等式的应用题，与等式应用题类似，主要思路为：
a.根据题意，列写不等关系式； b.设未知数，使之方便表示不等关系式；
c.根据不等关系，列写不等关系式；d.解不等式求解问题。
问题1：分配不足问题
不等式应用题从另一个角度可分为两大类：①含有明确的不等词（不少于、多余、不超过……）：将不等词化为不等号，以不等号的具体实际含义列出不等式；②不含有明确的不等词：根据题意中的实际意义列不等式。
例1．（2021·浙江瓯海·八年级阶段练习）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）
A．24人B．23人C．22人D．不能确定
【答案】C
【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，再求解，注意x为整数．
【详解】解：设每组预定的学生数为x人，由题意得，
解得是正整数故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，属于常规题，掌握相关知识是解题关键．
变式1．（2021·成都市·八年级期中）安排学生住宿，若每间住3人，则还有13人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为_____．
【答案】5或6
【分析】设共有间宿舍，则共有个学生，然后根据每间住6人，则还有一间不空也不满，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设共有间宿舍，则共有个学生，
依题意得：，解得：．
又为正整数，或6．故答案为：5或6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出不等式组进行求解．
变式2．（2021•市中区校级期中）某幼儿园把一筐桔子分给若干个小朋友，若每人3只，那么还剩59只，若每人5只，那么最后一个小朋友分到桔子，但不足4只，试求这筐桔子共有多少只？
解：设幼儿园共有x名小朋友，则桔子的个数为（3x+59）个，
由“最后一个小朋友分到桔子，但不足4个”可得不等式组
0＜（3x+59）﹣5（x﹣1）＜4，解得30＜x＜32，
∴x＝31，∴有桔子3x+59＝3×31+59＝152（个）．答：这筐桔子共有152个．
例2．（2022·浙江宁波·八年级期末）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
【答案】B
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（19-x），不等关系：小聪得分超过90分．
【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得10x-5（19-x）＞90．故选：B．
【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
变式3．（2022·江苏·七年级专题练习）小明和小亮共下了10盘围棋，小明胜一盘记1分，小亮胜一盘记3分，当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高过小明，小亮胜（ ）盘？（已知比赛中没有出现平局）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题可设小亮赢了x盘，然后列出一元一次不等式组，化简后得出x的取值范围，找出取值范围中的整数即可得出本题的答案．
【详解】解：设下完10盘棋后小亮胜了x盘．
根据题意得，解得 ．∴所列不等式组的整数解为x＝3．
答：小亮胜了3盘．故选：C.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的运用．解此类题目要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
变式4．（2021·重庆沙坪坝·七年级期中）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意可列不等式（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥125B．10x+5（20﹣x）≤125
C．10x+5（20﹣x）＞125D．10x﹣5（20﹣x）＞125
【答案】D
【分析】据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，10x-5（20-x）＞125，故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
问题2：方案问题
解决此类问题，依旧先按照普通不等式组解决问题的题型进行，最终会得到一个取值范围。那么提出的方案只需要符合这个取值范围即可。
例1．（2021·重庆·七年级期末）“学党史，办实事”，为解决停车难问题，某区政府治堵办对老旧小区新增停车位给予补贴，对于通过划线方式新增的和建设改造新增的给予不同的补贴．划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元．
(1)政府对划线新增一个停车位和建设改造新增一个停车位分别补贴多少元？
(2)在（1）的条件下，政府计划对老旧小区一共新增车位100个，建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元，则老旧小区新增停车位共有几种方案？
【答案】(1)政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元
(2)共有3种方案
【分析】（1）设政府对划线新增一个停车位补贴x元，对建设改造新增一个停车位补贴y元，根据“划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设老旧小区划线新增m个停车位，则建设改造新增（100-m）个停车位，根据“建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出老旧小区新增停车位方案的个数．
【详解】(1)设政府对划线新增一个停车位补贴元，对建设改造新增一个停车位补贴元，
依题意得：，解得：．
答：政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元．
(2)设老旧小区划线新增个停车位，则建设改造新增个停车位，
依题意得：，解得：．
又为整数，可以为38，39，40，老旧小区新增停车位共有3种方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
变式1．（2022·湖南·安仁县思源实验学校八年级期末）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
【答案】（1）设每个笔记本3元，每支钢笔5元；（2）有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个；②购买笔记本11个，则购买钢笔13个；③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
【分析】（1）每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔(24-m)个利用总费用不超过100元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案．
【详解】解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元
依题意得：解得：
答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元．
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔(24-m)个
依题意得：解得：12≥m≥10
∵m取正整数∴m＝10或11或12∴有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．
②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式．
变式2．（2022·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）为了落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师配备紫外线消毒灯和体温检测仪．已知购买1台紫外线消毒灯和2个体温检测仪要1450元，购买2台紫外线消毒灯和1个体温检测仪需要1700元．（1）求紫外线消毒灯和体温检测仪的单价各为多少元；（2）根据学校实际情况，需要购买紫外线消毒灯和体温检测仪共计75件，总费用不超过38500元，且不少于37500元，该校共有几种购买方案？
【答案】（1）紫外线消毒灯和体温检测仪的单价分别为650元、400元；（2）有5种购买方案．
【分析】（1）设紫外线消毒灯的单价为元，体温检测仪的单价为元，根据“购买1台紫外线消毒灯和2个体温检测仪需要1450元，购买2台紫外线消毒灯和1个体温检测仪需要1700元”，即可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设购买紫外线消毒灯台，则购买体温检测仪个，根据“购买的总费用不超过38500元，且不少于37500元，”，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：（1）设紫外线消毒灯的单价为元，体温检测仪的单价为元，
则由题意得，解得．
答：紫外线消毒灯的单价为650元，体温检测仪的单价为400元；
（2）设购买紫外线消毒灯台，则购买体温检测仪个．
，解得：，
∵为正整数，∴该校有5种购买方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用已经一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于、的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出关于的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或不等式组）是关键．
变式3．（2021•饶平县校级模拟）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元。（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：，解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，
依题意得：，解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
变式4．（2021·黑龙江集贤·七年级期末）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以满载运输件；辆大货车与辆小货车一次可以满载运输件．（1）求辆大货车和辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用元，每辆小货车一次需费用元．若运输物资不少于件，且总费用不超过元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？
【答案】（1）1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资；（2）该扶贫小组共有3种运输方案
【分析】（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，根据“2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m辆大货车，则租用（10-m）辆小货车，根据“运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出运输方案的个数．
【详解】解：（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，
依题意得：，解得：，
答：1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资．
（2）设租用m辆大货车，则租用（10-m）辆小货车，
依题意得：，解得：6≤m≤8．
又∵m为整数，∴m可以为6，7，8，∴该扶贫小组共有3种运输方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
例2．（2022·江苏·七年级专题练习）某市七年级“新体考”新增了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．为了使学生得到更好的训练，某学校计划到某商场采购一批足球和排球，该商场的每个足球与每个排球的标价之和为90元；若按标价购买4个足球、5个排球，则共需400元．（1）该商场足球和排球的标价分别是多少元？（2）若该商场有两种优惠方式：
方式一：足球和排球一律按标价8折优惠；
方式二：每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）．
①若学校需采购足球、排球各50个，你认为应该采用哪种优惠方式购买合算？
②若学校计划在此商场采购足球、排球共100个，其中足球数量为偶数且不超过48个，并且用方式二购买的费用不超过用方式一购买的费用，请问学校有几种采购方案，并说明理由．
【答案】（1）该商场足球的标价为50元个，排球的标价为40元个；（2）①采用优惠方式二购买合算；②学校有2种采购方案．
【分析】（1）设该商场足球的标价为元个，排球的标价为元个，根据“该商场的每个足球与每个排球的标价之和为90元；若按标价购买4个足球、5个排球，则共需400元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出该商场足球和排球的标价；
（2）①利用总价单价数量，结合两种优惠方式的优惠策略，即可分别求出采用两次优惠方式所需费用，比较后即可得出采用优惠方式二购买合算；
②设购买足球个，则购买排球个，根据“购买足球的数量不超过48个，并且用方式二购买的费用不超过用方式一购买的费用”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数且为偶数，即可得出采购方案的个数．
【详解】解：（1）设该商场足球的标价为元个，排球的标价为元个，
依题意得：，解得：．
答：该商场足球的标价为50元个，排球的标价为40元个．
（2）①采用优惠方式一的费用为（元；
采用优惠方式二的费用为（元．
答：采用优惠方式二购买合算．
②设购买足球个，则购买排球个，
依题意得：，解得：．
又为正整数，且为偶数，可以取46，48，学校有2种采购方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①利用总价单价数量，分别求出采用两种优惠方式所需费用；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
变式5．（2021·河南济源·七年级期末）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如下表：
（1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？（2）若购买这两种实验器材共50件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数量（单位：件）的2倍，总费用不超过2000元，请问共有几种采购方案？
【答案】（1）A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元；（2）9种
【分析】（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，根据总价=单价×数量，结合销售人员呈现的两次销售记录中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（50-m）件，根据“购进A型实验器材的数量不多于B型实验器材的数量的2倍，且总费用不超过2000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出采购方案的个数．
【详解】解：（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，
依题意得：，解得：，
答：A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元．
（2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（50-m）件，
依题意得：，解得：25≤m≤，
又∵m为整数，∴m可以取25，26，27，28，29，30，31，32，33，∴共有9种采购方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
变式6．（2021•湖南模拟）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，那么有哪几种方案？
解：（1）设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个小型图书馆需要y万元，
根据题意列方程组：．解得：．
答：建立每个中型图书馆需要5万元，建立每个小型图书馆需要3万元．
（2）设建立中型图书馆a个，
根据题意得：．解得：5≤a≤7．
∵a取正整数，∴a＝5，6，7．∴10﹣a＝5，4，3
答：一共有3种方案：方案一：中型图书馆5个，小型图书馆5个；方案二：中型图书馆6个，小型图书馆4个；方案三：中型图书馆7个，小型图书馆3个．
问题3：利润问题
例1．（2021·重庆实验外国语学校九年级阶段练习）节日将至，某水果店打算将红心猕猴桃、奉节脐橙、阿克苏糖心苹果以鲜果礼盒的方式进行销售．其中一个红心猕猴桃与一个阿克苏糖心苹果成本价之和为一个奉节脐橙的成本价的两倍，一个阿克苏糖心苹果与一个红心猕猴桃成本价之差的两倍等于一个奉节脐橙的成本价．商家打算将甲种鲜果礼盒装红心猕猴桃6个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；乙种鲜果礼盒装红心猕猴桃8个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；丙种鲜果礼盒装红心猕猴桃4个、奉节脐橙8个、阿克苏糖心苹果8个．已知每个鲜果礼盘的成本价定为各水果成本价之和，每个甲种鲜果礼盒在成本价的基础上提高之后进行销售，每个乙种鲜果礼盒的利润等于两个阿克苏糖心苹果的成本价，每个丙种鲜果礼盒的利润率和每个乙种鲜果礼盒时利润率相等．某单位元旦节发福利，准备给每个员工发一个鲜果礼盒．采购员向该水果店预订了80个甲种鲜果礼盒，预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间．该水果店通过核算，此次订单的利润率为，则该单位一共有________名员工．
【答案】140
【分析】设一个红心猕猴桃的成本价为x元，一个奉节脐橙的成本价为z元，一个阿克苏糖心苹果的成本价为y元，然后由题意易得，则有甲种鲜果礼盒的成本价为元，乙种鲜果礼盒的成本价为元，丙种鲜果礼盒的成本价为元，进而可得甲的利润为元，乙的利润为元，利润率为，丙的利润为元，设预定乙种鲜果礼盒的数量为m，丙种鲜果礼盒的数量为n，则根据“订单的利润率为”列出方程，最后根据“预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间”来求解即可．
【详解】解：设一个红心猕猴桃的成本价为x元，一个奉节脐橙的成本价为z元，一个阿克苏糖心苹果的成本价为y元，由题意得：
，解得：，∴甲种鲜果礼盒的成本价为元，乙种鲜果礼盒的成本价为元，丙种鲜果礼盒的成本价为元，
∴甲的利润为元，乙的利润为元，则有它的利润率为，进而可得丙的利润为元，设预定乙种鲜果礼盒的数量为m，丙种鲜果礼盒的数量为n，由题意得：
，化简得：，∴，
∵预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间，
∴，即，解得：，
∵m为正整数，∴m的值可能为36、37、38、39、40、41、42、43、44，
∵n为正整数，∴是6的倍数，∴，
∴该单位一共有80+40+20=140（名）；故答案为140．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握利用消元思想及不定方程的求解方法是解题的关键．
变式1．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）“寒辞去冬雪，暖带入春风”，随着新春佳节的临近，家家户户都在准备年货，腊肉香肠几乎是川渝地区必备的年货之一．某超市购进一批川味香肠和广味香肠进行销售，试销期间，两种香肠各销售100千克，销售总额为12000元，利润率为20%．正式销售时，超市决定将两种香肠混装成礼盒的形式促销（每个礼盒的成本为混装香肠的成本之和），其中A礼盒混装2千克广味香肠，2千克川味香肠；B礼盒混装1千克广味香肠，3千克川味香肠，两种礼盒的数量之和不超过180个．超市工作人员在对这批礼盒进行成本核算时将两种香肠的成本刚好弄反，这样核算出的成本比实际成本少了500元，则超巿混装A、B两种礼盒的总成本最多为______元．
【答案】36250
【分析】设每千克川味香肠的成本为元，每千克广味香肠的成本为元，先根据利润率的计算公式可得，从而可分别求出每个礼盒的实际成本和核算出的成本，再设礼盒的数量为个，礼盒的数量为个，根据“核算出的成本比实际成本少了500元”可得，从而可得，然后结合求出超巿混装两种礼盒的总成本的最大值即可得．
【详解】解：设每千克川味香肠的成本为元，每千克广味香肠的成本为元，
由题意得：，即，
则每个礼盒的实际成本和核算出的成本均为（元），
每个礼盒的实际成本为（元），核算出的成本为（元），
设礼盒的数量为个，礼盒的数量为个，
由题意得：，即，
联立，解得，
则超巿混装两种礼盒的总成本为
，
即超巿混装两种礼盒的总成本最多为36250元，故答案为：36250．
【点睛】本题考查了列代数式、二元一次方程组的应用等知识点，通过设立未知数，正确找出等量关系是解题关键．
变式2．（2022·重庆巴蜀中学九年级开学考试）图图饼干店所售饼干款式新颖、价格实惠，深受大众喜爱．2020年，图图店新推出抹茶、奶油、芒果、草莓味四款小饼干，抹茶味与奶油味的销量之和等于草莓味的销量，芒果味的销量占草莓味销量的，四款饼干的销量之和不少于2850包，不多于手3540包，抹茶味、奶油味两款饼干的成本相同，均为芒果味与草莓味的成本之和，四款饼干的成本均为正整数且草莓味饼干的成本是偶数，店家制作这四款饼干成本一共12012元，且四款饼干全部售出，2021年，受疫情影响，图图店不再制作芒果味饼干，每包抹茶味饼干成本是去年的倍，每包奶油味饼干成本较去年上涨了20%，每包草莓味饼干成本是去年的2倍，销量之比为4：3：5，其中抹茶味、奶油味饼干单件利润之比为3：4，最后三款饼干的总利润率为90%，则抹茶味、奶油味、草莓味饼干单价之和为______元．（每款饼干售价均为正整数）
【答案】35
【分析】设2020年芒果的销量为x包，则草莓的为9x包，抹茶和奶油的销量之和为9x包，根据题意可列出关于x的不等式，再结合题意即得出x的取值范围．设2020年芒果的成本为a元，草莓的成本为b元，则抹茶和奶油的均为(a+b)元，根据题意可列出关于x和a、b的等式，由此即可得出．由题意可得出且b为偶数，即可由
开始试数，得出符合题意的a的值．再将所求出的a和b的值代入由关于x和a、b的等式所整理的式子，即可求出x的值．即得出2020年芒果的成本，草莓的成本，抹茶的成本和奶油的的成本．从而可求2021年草莓的成本，抹茶的成本和奶油的的成本．设抹茶味饼干2021年销售量为包，则奶油的为包，草莓的为包，由此可求出总成本，从而可求出，总销售额．设抹茶味、奶油味和草莓味饼干的单价分别为r元、s元、t元．根据题意可得出，即．即可得出总销售额，由此可得出．再由抹茶味、奶油味饼干单件利润之比为3：4，每款饼干售价均为正整数，得出，．即可由开始试数，求出符合题意的t和r的值．最后将r、s、t相加即可．
【详解】设2020年芒果的销量为x包，则草莓的为9x包，抹茶和奶油的销量之和为9x包，
根据题意可列不等式：，解得：，
∵x为整数，∴．
设2020年芒果的成本为a元，草莓的成本为b元，则抹茶和奶油的均为(a+b)元，
根据题意可列等式：，整理得：．
∴,整理得：，
∵四款饼干的成本均为正整数，∴．
又∵草莓味饼干的成本是偶数，∴．
当时，即，解得：，即a的值为3或4．
当时，即，解得：，与四款饼干的成本均为正整数不符，舍去．
当时，即，不符合题意，舍去．
∴当a=3，时，代入，得：，解得：；
当a=4，时，代入，得：，解得：，与x为整数不符；
∴2020年芒果的成本为3元，草莓的成本为2元，则抹茶和奶油的均为5元．
∴2021年抹茶的成本为元，奶油的成本为元，草莓的成本为元．
设抹茶味饼干2021年销售量为包，则奶油的为包，草莓的为包，
∴总成本为元．
∵三款饼干的总利润率为90%，∴总销售额为元．
设抹茶味、奶油味和草莓味饼干的单价分别为r元、s元、t元．
∵抹茶味、奶油味饼干单件利润之比为3：4，∴，整理得：．
∵总销售额为元，∴，即．
将代入，得．
∵抹茶味、奶油味饼干单件利润之比为3：4，即售卖奶油味饼干纯在利润，
又∵每款饼干售价均为正整数，∴，．
当时，代入，得，
解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，
解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，
将，代入，得，
解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，
将，代入，得，解得：；
当时，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍；
当时，代入，得，解得：；
将，代入，得，解得：，不符合每款饼干售价均为正整数，舍； 综上可知， ，．
∴抹茶味、奶油味和草莓味饼干的单价和为元．故答案为：35．
【点睛】本题考查三元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．数据处理较大，为困难题型．根据题意找出数量关系，列出不等式或等式是解答本题的关键．
变式3．（2021·山东·郯城县第三中学一模）某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元，已知一月份卖出20台冰箱，二月份卖出25台冰箱，二月份的销售额比一月份多1万元．
(1)一、二月份冰箱每台售价各为多少元？(2)为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台(y≤12)，请问有几种进货方案？(3)三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，在这种情况下，若(2)中各方案获得的利润相同，则a＝ ．(直接写出结果)
【答案】(1)一月份冰箱每台售价4500元，二月份冰箱每台售价4000元；(2)五种；(3)100．
【分析】(1)根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得一、二月份冰箱每台售价各为多少元；(2)根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到y的取值范围，进而得到相应的进货方案；
(3)根据题意和(2)中的结果，可以得到利润与y的函数关系，再根据(2)中各方案获得的利润相同，从而可以得到a的值．
【解析】(1)解：设一月份冰箱每台售价x元，则二月份冰箱每台售价(x−500)元，
根据题意得：25(x−500)−20x=10000，解得，x=4500，∴x−500=4000，
故一月份冰箱每台售价4500元，二月份冰箱每台售价4000元；
(2)解：由题意可得，3500y+4000(20−y)⩽76000，解得，y⩾8，
∵y⩽12且为整数，∴8⩽y⩽12∴y=8，9，10，11，12，∴共有五种进货方案；
(3)解：设总获利w元，w=(4000−3500−a)y+(4400−4000)(20−y)=(100−a)y+8000，
∵(2)中各方案获得的利润相同，∴100−a=0，解得，a=100，故答案为：100.
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
变式4．（2022·广西江州·七年级期末）崇左市甲超市和乙超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：
已知两家超市相同的商品的标价都一样．
(1)若小华同学一次性购物200元，请问小华同学到两家超市实际付款分别是多少？
(2)当购物总额为多少时，小华同学到两家超市实际付款相同？(3)若小华在乙超市购物实际付款480元，则买同样的商品到甲超市实际付款多少元，他的选择划算吗？试说明理由．
【答案】(1)小华同学到甲乙两家超市实付款分别170元和200元．
(2)当购物总额是750元时，小华同学到甲乙两家超市实付款相同；(3)小华选择在乙超市购物不划算．
【分析】（1）根据甲超市和乙超市促销方式代入计算即可；
（2）设购物总额是x元时，先计算出x的取值范围，确定打折方式后根据题意列出方程即可求出答案；
（3）由于500×0.8＝400＜480，所以小华在乙超市购物实际总额多于500元，设小华在乙超市购物总额为y元，y＞500时，根据乙超市的促销方式列方程即可求得， 再将求出的金额用甲超市促销方式进行计算后比较，即可判断．
【解析】(1)解：（1）由题意可知，一次性购物总额是200元时：
甲超市实付款：200×（1−15%）＝170（元），乙超市实付款： 200（元），
小华同学到甲乙两家超市实付款分别170元和200元．
(2)（2）设购物总额是 x元时，甲乙两家超市实付款相同，
当一次性购物标价总额恰好是500元时，
甲超市实付款＝500×0.85＝425（元），乙超市实付款＝500×0.8＝400（元），
∵425＞400，∴x＞500． 根据题意得 x（1−15%）＝500（1−10%）＋（x−500）×0.75，解得x＝750，
∴当购物总额是750元时，小华同学到甲乙两家超市实付款相同；
（3）∵500×0.8＝400＜480，∴该小华在乙超市购物实际总额多于500元，
设该小华同学在乙超市购物总额为y元，且y＞500，根据题意得：
500（1−10%）＋（y−500）×0.75＝480，解得 y＝540．540×（1−15%）＝459（元），
∴该顾客在步步高超市购物，购买总额540元的商品，实际付款为459元，
∵459＜480，∴小华选择在乙超市购物不划算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式，有理数大小比较，解题的关键是判断清楚题目中描述的促销方式并准确找出等量关系进行求解．
变式5．（2021·上海松江·期末）今年“六一”前夕，某文具店花费2200元采购了A、B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如表：
若两种型号的文具按表中售价全部售完，则该商店可以盈利600元．
(1)问该商店当初购进A、B两种型号文具各多少个？(2)“六一”当天，A、B两种型号文具各剩下20%还未卖出，文具店老板在第二天降价出售，且两种型号文具每件降了同样的价格，要使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，那么这两种型号的文具每件最多降多少元？
【答案】(1)该商店当初购进A型号文具100个，B型号文具80个(2)1.5元
【分析】（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个，根据用2200元购进的A、B两种型号的文具全部售出后可盈利600元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设这两种型号的文具每件降m元，利用这批文具售完后的总盈利＝600﹣剩余文具的数量×每件降低的价格，结合使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】(1)解：（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个，
依题意得：， 解得：．
答：该商店当初购进A型号文具100个，B型号文具80个；
(2)（2）设这两种型号的文具每件降m元，
依题意得：600﹣（100+80）×20%m≥546，解得：m≤1.5．
答：这两种型号的文具每件最多降1.5元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意利用方程组或是不等式解决实际问题是解题的关键．
问题4：费用优化问题
费用优化问题是在方案问题上进一步深化，再求出费用（结果）最大（小）的方案。
解题方法为：先按照方案问题，求解出所有合适的方案，在求出各个方案的费用（结果），比较得出费用最大（小）利润（结果）的方案。
例1．（2022·江苏·七年级专题练习）永辉超市计划购进甲、乙两种体育器材，若购进甲器材3件，乙器材6件，需要480元，购进甲器材2件，乙器材3件，需要280元，销售每件甲器材的利润率为37.5%，销售每件乙器材的利润率为30%．(1)甲、乙两种体育器材进价分别为多少元/件？（列方程或方程组解答）
(2)该超市决定购进甲、乙体育器材100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购进这些体育器材的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该超市有哪几种进货方案？那种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种体育器材进价分别为80元/件，40元/件(2)见解析
【分析】（1）设甲器材的进价为x元/件，乙器材的进价为y元/件，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲器材z件，根据题意列出不等式组，求出整数解，得到三种方案，分别计算三种方案的利润，比较即可．
【详解】(1)解：设甲器材的进价为x元/件，乙器材的进价为y元/件，
由题意可得：，解得：，
∴甲、乙两种体育器材进价分别为80元/件，40元/件；
(2)设购进甲器材z件，由题意可得：，解得：，
∴z的取值为58，59，60，
方案一：当z=58时，即甲器材58件，乙器材42件，利润为：元；
方案二：当z=59时，即甲器材59件，乙器材41件，利润为：元；
方案三：当z=60时，即甲器材60件，乙器材40件，利润为：元；
∴方案三的利润最大，最大利润为2280元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，由两种商品利润间的关系，找出获利最大的进货方案．
变式1．（2022·重庆巴蜀中学七年级开学考试）巴蜀中学两江校区和鲁能校区联合准备重庆市中学生新年文艺汇演．准备参加汇演的学生共102人（其中鲁能校区人数多于两江校区人数，且鲁能校区人数不足100人），按要求准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
如果两校区分别单独购买服装，一共应付7500元．
(1)如果两校区联合起来购买服装，那么比各自单独购买服装共可以节省多少钱？(2)两江校区和鲁能校区各有多少学生准备参加演出？(3)如果鲁能校区有7名参加演出的同学临时接到通知将参加某大学的自主招生考试而不能参加演出，那么你认为有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？
【答案】(1)1380元(2)两江校区有学生36人，则鲁能校区有学生66人．
(3)两校联合起来选择按60元每套一次购买100套服装最省钱．
【分析】（1）根据：“节省费用＝单独购买服装总费用﹣联合起来购买服装总费用”列式计算；
（2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得；（3）有三种方案：各自购买、联合购买95套，购买100套，分别计算、比较可得．
【详解】(1)若两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省：
7500﹣60×102＝1380（元）；
(2)设两江校区有学生x人，则鲁能校区有学生（102﹣x）人,
依题意，,
解得，
经检验x＝36符合题意．则
答：两江校区有学生36人，则鲁能校区有学生66人．
(3)方案一：各自购买服装需36×80+59×70＝7010（元）；
方案二：联合购买服装需（36+59）×70＝6650（元）；
方案三：购买100套：60×100=6000（元）
综上所述：因为7010＞6650>6000
所以应该两校联合起来选择按60元每套一次购买100套服装最省钱．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是要理清题意，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
变式2．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期末）2021年11月，我市政府紧急组织一批物资送往新冠疫情高风险地区，现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．
（1）求食品和矿泉水各有多少箱；（2）现计划租用，两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知种货车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案；（3）在（2）的条件下，种货车每辆需付运费600元，种货车每辆需付运费450元，政府应该选哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
【答案】（1）食品有260箱，矿泉水有150箱；（2）共有3种运输方案，方案1：租用种货车3辆，种货车7辆，方案2：租用种货车4辆，种货车6辆，方案3：租用种货车5辆，种货车5辆；（3）政府应该选择方案1，才能使运费最少，最少运费是4950元
【分析】（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，根据“品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10-m）辆，根据租用的10辆货车可以一次运送这批物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案；（3）根据总运费=每辆车的运费×租车辆数，可分别求出三个运输方案所需总运费，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设食品有箱，矿泉水有箱，依题意，得，解得，
答：食品有260箱，矿泉水有150箱；
（2）设租用种货车辆，则租用种货车辆，依题意，得解得：3≤m≤5，
又∵m为正整数，∴m可以为3，4，5，∴共有3种运输方案，
方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；
方案2：租用A种货车4辆，B种货车6辆；
方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆．
（3）选择方案1所需运费为600×3+450×7=4950（元），
选择方案2所需运费为600×4+450×6=5100（元），
选择方案3所需运费为600×5+450×5=5250元）．
∵4950＜5100＜5250，∴政府应该选择方案1，才能使运费最少，最少运费是4950元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费=每辆车的运费×租车辆数，分别求出三个运输方案所需总运费．
例2．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）某厨具店购进A型和B型两种电饭煲进行销售， 其进价与售价如表：
（1）一季度， 厨具店购进这两种电饭煲共30台， 用去了5600元， 问该厨具店购进A，B型电饭煲各多少台？（2）为了满足市场需求， 二季度厨具店决定用不超过9560元的资金采购两种电饭煲共50 台， 且A型电饭俣的数量不少于B型电饭煲数量， 问厨具店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下， 全部售完， 请你通过计算判断， 哪种进货方案厨具店利润最大， 并求出最大利润．
【答案】（1）厨具店购进A，B型电饭煲各10台，20台；（2）有四种方案：①购买A型电饭煲25台，购买B型电饭煲25台；②购买A型电饭煲26台，购买B型电饭煲24台；③购买A型电饭煲27台，购买B型电饭煲23台，④购买A型电饭煲28，购买B型电饭煲22台；（3）购买A型电饭煲28，购买B型电饭煲22台时，橱具店赚钱最多．
【分析】（1）设橱具店购进A型电饭煲x台，B型电饭煲y台，根据橱具店购进这两种电饭煲共30台且用去了5600元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，即可；
（2）设购买A型电饭煲a台，则购买B型电饭煲（50−a）台，根据橱具店决定用不超过9560元的资金采购电饭煲和电压锅共50个且A型电饭俣的数量不少于B型电饭煲数量，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由此即可得出各进货方案；
（3）根据总利润＝单个利润×购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设橱具店购进A型电饭煲x台，B型电饭煲y台，
根据题意得：，解得：，
答：厨具店购进A，B型电饭煲各10台，20台；
（2）设购买A型电饭煲a台，则购买B型电饭煲（50−a）台，
根据题意得：，解得：25≤a≤28．
又∵a为正整数，∴a可取25，26，27，28，
故有四种方案：①购买A型电饭煲25台，购买B型电饭煲25台；②购买A型电饭煲26台，购买B型电饭煲24台；③购买A型电饭煲27台，购买B型电饭煲23台，④购买A型电饭煲28，购买B型电饭煲22台；
（3）设橱具店赚钱数额为w元，
当a＝25时，w＝25×100＋25×80＝4500；
当a＝26时，w＝26×100＋24×80＝4520；
当a＝27时，w＝27×100＋23×80＝4540；
当a＝28时，w＝28×100＋22×80＝4560；
综上所述，当a＝28时，w最大，
即购买A型电饭煲28，购买B型电饭煲22台时，橱具店赚钱最多．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系，列出关于a的一元一次不等式组；（3）根据总利润＝单个利润×购进数量分别求出各进货方案的利润．
变式4．（2021·河南汤阴·七年级期末）2021年5月19日，国家航天局发布我国首次火星探测天问一号任务探测器着陆过程两器分离和着陆后火星车拍摄的影像．我县某校以此为背景开展关于火星知识的问答竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买，两种航天器模型作为奖品．已知购买1个模型和1个模型共需159元；购买3个模型和2个模型共需374元．
（1）求1个模型和1个模型的价格；（2）根据学校实际情况，需一次性购买模型和模型共20个，但要求购买模型的数量多于12个，且不超过模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】（1）1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元．（2）方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为1355元．
【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A模型m个，则购买B模型（20-m）个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，解得：．
答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元．
（2）设购买A模型m个，则购买B模型（20-m）个，
依题意得：，解得：12＜m≤15．
又∵m为整数，∴m可以为13，14，15，∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为56×13+103×7=728+721=1449（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为56×14+103×6=784+618=1402（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为56×15+103×5=840+515=1355（元）．
∵1449＞1402＞1355，∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为1355元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
变式4．（2021·山东梁山·七年级期末）“保护环境，低碳出行”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买型和型两种环保节能公交车共10辆．已知购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需650万元；购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买型公交车辆，完成下表：
（3）若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1150万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于640万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？
【答案】（1）购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元；（2）150（10﹣x），100（10﹣x），见解析；（3）有三种方案：（一）购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；（二）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆；（三）购买A型公交车9辆，B型公交车1辆；购买A型公交车9辆，B型公交车1辆即第三种购车方案总费用最少，最少总费用是1050万元
【分析】（1）设购买每辆A型公交车x万元，购买每辆B型公交车每辆y万元，根据题意列出二元一次方程组计算即可；（2）根据（1）中的数据计算即可；（3）设购买x辆A型公交车，则购买（10﹣x）辆B型公交车，依题意列不等式组计算即可；
【详解】解：（1）设购买每辆A型公交车x万元，购买每辆B型公交车每辆y万元，依题意列方程得，
，解得 ，
∴购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元．
（2）由（1）中的可得：故答案是：
（3）设购买x辆A型公交车，则购买（10﹣x）辆B型公交车，依题意列不等式组得，
，解得 7≤a≤9，∵x是整数，∴x=7，8，9.
有三种方案（一）购买A型公交车7辆，B型公交车3辆； （二）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆；（三）购买A型公交车9辆，B型公交车1辆；即该公司有3种购车方案；
因A型公交车较便宜，故购买A型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案．
最少费用为：9×100+150×1=1050（万元）．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，准确计算是解题的关键．
问题5：其他问题
例1．（2022·江苏·七年级专题练习）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等侯进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放2个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟内配餐完毕，则两个食堂至少需要同时一共开放___个配餐窗口．
【答案】29
【分析】设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，根据“一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，解之即可用含y的代数式表示出a，x，设设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据需要在15分钟内配餐完毕，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，依题意得：，∴，
设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，
依题意得：15my≥a+2a+15×（x+2x），解得：m≥29．故答案为：29．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
变式1．（2021·河南长垣·模拟预测）2021年元旦新冠病毒肆虐，为抗疫救灾，甲、乙两运输队接受了运输20000箱抗疫物资的任务，任务要求在11天之内（包含11天）完成．已知两队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输120箱的抗疫物资，乙队每辆车每天能够运输100箱的抗疫物资，前4天两队一共运输了8000箱．(1)求甲、乙两队各有多少辆汽车；(2)4天后，甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援，在不影响工期的情况下，甲队最多可以抽调多少辆汽车走？
【答案】(1)甲队有10辆汽车，乙队有8辆汽车(2)甲队最多可以抽调2辆汽车走
【分析】（1）设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车，根据题意得：，计算求解即可；（2）设甲队可以抽调m辆汽车走，根据题意得：，求解最大的整数即可．
【解析】(1)解：设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车
根据题意得：解得：
∴甲队有10辆汽车，乙队有8辆汽车．
(2)解：设甲队可以抽调m辆汽车走
根据题意得：解得：
则m最大的整数是2∴甲队最多可以抽调2辆汽车走．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于依据题意列正确的等式或不等式．
变式2．（2022·河南·九年级专题练习）小明与小红开展读书比赛．小明找出了一本以前已读完84页的古典名著打算继续往下读，小红上个周末恰好刚买了同一版本的这本名著，不过还没开始读．于是，两人开始了读书比赛．他们利用右表来记录了两人5天的读书进程．例如，第5天结束时，小明还领先小红24页，此时两人所读到位置的页码之和为424．已知两人各自每天所读页数相同．
(1)表中空白部分从左到右2个数据依次为 ， ；(2)小明、小红每人每天各读多少页？
(3)已知这本名著有488页，问：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读几页，才能确保第10天结束时还不被小红超过？（答案取整数）
【答案】(1)288，356(2)小明每天读28页，小红每天读40页
(3)小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过
【分析】（1）第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页；（2）小明每天读x页，小红每天读y页．由题意列得议程组，解方程组即可解决问题；
（3）从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解不等式即可解决问题．
【解析】(1)解：第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页，故答案为：288，356．
(2)解：小明每天读x页，小红每天读y页，
由题意 ，解得 ，
答：小明每天读28页，小红每天读40页；
(3)解：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．
由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解得m≥7.2，
∵m是整数，∴m=8，∴小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、二元一次方程组等知识，解题的关键是读懂表格中的信息，学会利用参数构建方程组或不等式解决问题．
变式3．（2022·福建·厦门一中八年级期末）A、B两地相距25km，甲上午8点由A地出发骑自行车去B地，乙上午9点30分由A地出发乘汽车去B地．(1)若乙的速度是甲的速度的4倍，两人同时到达B地，请问两人的速度各是多少?(2)已知甲的速度为，若乙出发半小时后还未追上甲，此时甲、乙两人的距离不到，判断乙能否在途中超过甲，请说明理由．
【答案】(1)甲的速度是12.5千米/时，乙的速度是50千米/时；
(2)乙能在途中超过甲．理由见解析
【分析】（1）设甲的速度是x千米/时，乙的速度是4x千米/时，根据A、B两地相距25千米，甲骑自行车从A地出发到B地，出发1.5小时后，乙乘汽车也从A地往B地，且两人同时到达B地，可列分式方程求解；（2）根据乙出发半小时后还未追上甲，此时甲、乙两人的距离不到，列不等式组求得乙的速度范围，进步计算即可判断．
(1)解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是4x千米/时，
由题意，得，解得x=12.5，
经检验x=12.5是分式方程的解，12.5×4=50．
答：甲的速度是12.5千米/时，乙的速度是50千米/时；
(2)解：乙能在途中超过甲．理由如下：
设乙的速度是y千米/时，由题意，得，解得：44