2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)= x+1，则Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=( )
A. 32B. 1C. 12D. 2
2.数列−2，4，−263，20，…的一个通项公式可以是( )
A. an=(−1)n⋅2nB. an=(−1)n⋅3n−nn
C. an=(−1)n⋅2n+1−2nD. an=(−1)n⋅3n−1n
3.已知曲线x22m−3+y2m−5=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,32)∪(5,+∞)B. (5,+∞)
C. (−∞,32)D. (32,5)
4.已知平面α的一个法向量为n=(2,3,−6)，直线l的方向向量为a=(2m,m+1,4)，若l/​/α，则实数m=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a12a7=25，则S18S13=( )
A. 15B. 18C. 23D. 27
6.已知函数f(x)=x+4x2,g(x)=xlnx+a，若∀x1∈[1,4]，∃x2∈[1,e]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. [5−e,174]B. [5−e,3]C. (5−e,3)D. (5−e,174)
7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=6，点E，F分别为棱BB1，AC的中点，则点C1到平面A1EF的距离为( )
A. 3 65B. 6 65C. 3 105D. 6 105
8.已知二次函数y=x2+(2m−3)x−4−11m与x轴交于A，B两点，点C(1,3)，圆G过A，B，C三点，存在一条定直线l被圆G截得的弦长为定值，则该定值为( )
A. 2 3B. 13C. 4 3D. 2 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=−7，S2=−12，则下列结论正确的是( )
A. an=2n−9B. {an}为递减数列C. a3+a6=0D. S7=a1
10.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在区间(−5,−2)上单调递减
B. f(x)在区间(−3,1)上单调递增
C. f(x)在x=3处取得极大值
D. f(x)在x=1处取得极大值
11.已知抛物线C：x2=8y，点P是抛物线C准线上的一点，过点P作抛物线C的切线，切点分别为A，B，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是( )
A. 直线AB恒过定点(0,2)B. |k1−k2|=2
C. k1k2=−1D. △PAB的面积最小值为16
12.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是CD，A1B1，DD1，BC的中点，则下列说法正确的有( )
A. E，F，M，N四点共面
B. BD与EF所成的角为π3
C. 在线段BD上存在点P，使PC1⊥平面EFM
D. 在线段A1B上任取点Q，三棱锥Q−EFM的体积不变
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆C1：x2+y2−6x−12y=0和圆C2：x2+y2+4x−5y−3=0，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为______．
14.曲线y=(x2+x)lnx+2在点(1,2)处的切线方程为______．
15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，延长PF2交椭圆C于点M，且△F1PM为等边三角形，则椭圆C的离心率为______．
16.“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知椭圆的焦距为10，离心率为513，求椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为y=± 5x，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．
18.(本小题12分)
已知数列{an}是等差数列，且a2=−25，2a3+a5=−50．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
19.(本小题12分)
已知圆C1：x2+y2+6x−10y+25=0与圆C2：x2+y2−8y+7=0交于A，B两点，圆C经过A，B两点，且圆心在直线4x−3y−3=0上．
(1)求|AB|；
(2)求圆C的方程．
20.(本小题12分)
如图，四边形ABCD为正方形，四边形ADEF是梯形，AF//DE，AD=DE=3AF，平面ADEF⊥平面ABCD，且ED⊥BD，点P是线段FC上的一点(不包括端点)．
(1)证明BD⊥FC；
(2)若AF=1，且直线EC与平面PBD所成角的大小为45°，求三棱锥C−PBD的体积．
21.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± 33x，且过点(3,− 2)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若双曲线C的右焦点为F，点P(0,−4)，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且|PA|=|PB|，求直线l的方程．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=12x2+a(lnx−x)(a∈R)．
(1)若f(x)恰有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的两个极值点分别为x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)0,Δ=(−a)2−4a>0,
解得a>4，即实数a的取值范围是(4,+∞)；
(2)证明：由(1)知x1，x2是方程x2−ax+a=0的两个不同的根，所以x1+x2=a，x1x2=a，
所以f(x1)+f(x2)=12x12+a(lnx1−x1)+12x22+a(lnx2−x2)
=12(x1+x2)2−x1x2−a(x1+x2)+aln(x1x2)=12a2−a−a2+alna=alna−12a2−a,a>4，
令g(x)=xlnx−12x2−x,x>4,g′(x)=lnx−x，
令u(x)=g′(x),u′(x)=1x−1=1−xx