2024-2025学年江苏省南通市如皋市部分学校高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市如皋市部分学校高二上学期11月期中联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知P2,2为抛物线C:y2=2pxp>0上一点，则抛物线C的准线方程为( )
A. x=−1B. y=−1C. x=−12D. y=−12
2.已知正项等比数列an的前n和为Sn，a2=4, a1a5=64，则S5=( )
A. 85B. 62C. 32D. 31
3.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0, b>0一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为( )
A. 5B. 3C. 52D. 2 33
4.过点P与圆x2+y2−4 2y+7=0相切的两条直线的夹角为90∘，则点P到原点距离的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2 2D. 3 2
5.已知等差数列an的前n和为Sn，Snan=n+12，则a3a5=( )
A. 35B. 53C. 3D. 13
6.已知O为坐标原点，双曲线C:x24−y2=1的左，右焦点分别为F1,F2.若P为双曲线C上一点，PH为∠F1PF2的角平分线，过右焦点F2的直线与直线PH垂直，垂足为H，则OH=( )
A. 1B. 2C. 5D. 52
7.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1，∠A1AB=∠DAB=∠A1AD=60∘，A1C1∩B1D1=O1，则下列说法不正确的是( )．
A. AO1//平面BC1DB. BD⊥平面ACC1A1
C. 直线AA1与平面ABCD所成角为30∘D. A1−BD−C的余弦值为−13
8.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为 33，过上顶点B和右焦点F2的直线与椭圆C的另一个交点为A，且▵F1AB的面积为3 2，则▵F1AB的周长为( )
A. 4B. 4 2C. 4 3D. 4 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an的首项为1，前n和为Sn，且an+1=2Sn，则( )
A. 数列an是等比数列B. Sn是等比数列
C. a5=81D. 数列lg3Sn的前n项和为nn−12
10.在正三棱台A1B1C1−ABC中，P为线段BC上一动点，AB=AA1=2A1B1=2，则( )
A. 存在点P，使得AA1//PC1
B. 存在点P，使得AB⊥PC1
C. 当BC⊥平面A1AP时，P为BC的中点
D. A1P+AP的最小值为 3+ 5
11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，上顶点B0,1，且∠F1BF2=90°.M为椭圆C上任意一点(异于左，右顶点)，直线BF1, MF1分别与椭圆C交于D, N，则( )
A. 椭圆C的离心率为 22
B. ▵BDF2内切圆的半径为 23
C. △DF1F2的外接圆方程为x2+y+232=139
D. △MF1F2与△NF1F2内切圆半径之和的最大值为2− 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四面体A−BCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为 ．
13.已知an=n,n为奇数2n−2,n为偶数，则数列an前11项之和为 ．
14.已知O为坐标原点，P5,163为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，A1,A2分别为双曲线C的左，右顶点，且直线PA1与直线PA2的斜率之积为169，则OP⋅A1A2= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点F为抛物线C:x2=2pyp>0的焦点，P4, y1, Q1, y2为抛物线C上两点，且直线PF与直线QF斜率之和为0．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A为抛物线C上一动点，直线l:y=kx−32，且l//PF，求A到直线l距离的最小值．
16.(本小题12分)
已知等比数列an的前n项和为Sn，S2=6且a3=8．
(1)求an；
(2)若an>0，求数列lg2an⋅Sn的前n项和Tn．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，底面△ACB是直角三角形，BC⊥AC，点E, F分别在AB, A1C1上，且BE=2EA．
(1)证明：AC⊥平面BCC1B1；
(2)若A1E//平面BCF，求A1FFC1．
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，2Sn=n+1an，且a1=3．
(1)求an；
(2)若从数列Snn中删除an中的项，余下的数组成数列bn．
①求数列1bnbn+1的前n项和Tn；
②若b1, b3n+1, bcn成等比数列，记数列1cn的前n项和为An，证明：An0, b>0只有两个交点，过圆O上一点T的切线l与双曲线C交于A, B两点，与y轴交于D点．当T与D重合时，AB=4 5．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线OT的斜率为−43，求AB；
(3)当yT∈1,43时，求ODAB的最小值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.A
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BCD
11.ABD
12. 36或16 3
13.249
14.30
15.解：(1)抛物线C:x2=2pyp>0的焦点F(0,p2)
因为直线PF与直线QF斜率之和为0，
所以点Q关于y轴的对称点Q′(−1,y2)与P,F三点在同一直线上，

设直线PF的方程为y=kx+p2，
与抛物线联立可得y=kx+p2x2=2py，消去y得x2−2pkx−p2=0，
由−1,4是方程x2−2pkx−p2=0的两根，
所以−1×4=−p2，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y；
(2)因为P4,y1在抛物线C上，所以42=4y1，所以y1=4，
所以P4,4，又F(0,1)，所以kPF=4−14−0=34，又l//PF且直线l:y=kx−32，
所以l的方程为y=34x−32，
设A(m,n)，所以点A到直线l距离d=3m−4n−6 32+(−4)2=3m−m2−65=−(m−32)2−1545=(m−32)2+1545≥34；
当m=32时，A到直线l距离取最小值，最小值为34．

16.解：(1)设等比数列an的公比为q，
由题意，得a11+q=6a1q2=8，解得a1=2q=2,a1=18q=−23
∴an=2n或an=−27×−23n
(2)∵an>0，由(1)知，an=2n，Sn=a11−qn1−q=2n+1−2，
lg2an⋅Sn=lg22n⋅2n+1−2=n⋅2n+1−2n
Tn=1×22+2×23+⋅⋅⋅+n×2n+1−21+2+⋅⋅⋅+n
令Hn=1×22+2×23+⋅⋅⋅+n×2n+1 ①
则2Hn= 1×23+2×24+⋅⋅⋅+n−1×2n+1+n×2n+2 ②
①−②得−Hn=22+23+24+⋅⋅⋅+2n+1−n×2n+2=1−n⋅2n+2−4
即Hn=n−1⋅2n+2+4
所以Tn=n−1⋅2n+2+4−nn+1．

17.解：(1)因为侧棱BB1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以BB1⊥AC，
又BC⊥AC，BB1∩BC=B，BB1,BC⊂平面BCC1B1，
所以AC⊥平面BCC1B1；
(2)因为A1E∩A1F=A1，所以A1E,A1F确定唯一平面A1EF，
设平面A1EF∩BC=G，连接EG,FG，
因为A1E//平面BCF，所以A1E//GF，
又因为A1C1//AC，A1C1⊄底面ABC，AC⊂底面ABC，所以A1C1//底面ABC，
又A1C1⊂平面A1EF，平面A1EF∩底面ABC=EG，
所以A1C1//EG，所以AC//EG，所以EGAC=BEAB=23，
又因为A1C1//EG，A1E//GF，所以四边形A1FGE是平行四边形，所以A1F=GE，
所以A1FA1C1=23，所以A1FFC1=2．

18.解：(1)∵2Sn=n+1an，∴当n≥2时，2Sn−1=nan−1，
两式相减得，2an=n+1an−nan−1，整理得n−1an−nan−1=0，即anan−1=nn−1，
∴当n≥2时，an=a1⋅a2a1⋅a3a2⋯anan−1=3×21×32×⋯×nn−1=3n，a1=3满足此式，
∴an=3n．
(2)①由(1)得，2Sn=3nn+1，∴Sn=3nn+12，Snn=3n+12，
∴数列Snn是首项为3，公差为32的等差数列．
当n为奇数时，n+1为偶数，3n+12为3的整数倍，3n+12是数列an中的项，
当n为偶数时，n+1为奇数，3n+12不是数列an中的项，
∴数列bn中的项为数列Snn的偶数项，且b1=S22=92，
∴数列bn是首项为92，公差为3的等差数列，
∴bn=92+3(n−1)=3(2n+1)2，
∴bnbn+1=3(2n+1)2⋅3(2n+3)2=9(2n+1)(2n+3)4，1bnbn+1=49(2n+1)(2n+3)=2912n+1−12n+3，
∴Tn=2913−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3=2913−12n+3=4n54n+81．
②由①得，bn=3(2n+1)2，∴b1=92, b3n+1=32(6n+3), bcn=3(2cn+1)2，
∵b1, b3n+1, bcn成等比数列，∴b3n+12=b1⋅bcn，即32(6n+3)2=92×3(2cn+1)2，
∴cn=6n2+6n+1，∴1cn=16n2+6n+1