2024-2025学年广东省清远市清新区高二上学期11月四校联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省清远市清新区高二上学期11月四校联考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简PM−PN+MN，所得的结果是( )
A. 0B. NPC. MPD. MN
2.已知a⋅b=6，a=3，b=4，则b在a上的投影向量为( )
A. 38aB. 38bC. 23aD. 23b
3.如图，在▵ABC中，AB=6,AC=3,∠BAC=π3，BD=2DC，则AB⋅AD=( )
A. 9B. 18C. 6D. 12
4.设a、b是两条直线，α、β是两个平面，a⊂α，b⊂β，p:a//b，q:α//β，则p是q的
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为166.2cm，小华调查的样本量为100，平均数为164.7cm.则下列说法正确的是( )
A. 小明抽样的样本容量更大，所以166.2cm更接近总体平均数
B. 小华使用的抽样方法更好，所以164.7cm更接近总体平均数
C. 将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7cm接近总体平均数
D. 样本平均数具有随机性，以上说法均不对
6.已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sinA=13,b=2sinB，则a=( )
A. 23B. 32C. 6D. 16
7.已知向量a=4,1，b=2,m，且a//a+b，则m=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
8.已知单位向量a，b的夹角为2π3，则|a−b|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果a,b是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A. a=bB. a=±bC. a2=b2D. a=b
10.已知虚数z1=3+4i，z2=2−i，则( )
A. |z1−z2|=5B. z1z2=z2
C. z1=z22D. z2是方程x2−4x+5=0的一个根
11.下列说法中，错误的为( )
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▵ABC中，E是BC边上一点，且BE=3EC，点F为AE的延长线上一点，写出使得AF=λAB+μAC成立的λ，μ的一组数据λ,μ为 ．
13.已知OA=4,3，OB=2,10，则AB在OA方向上的投影向量坐标为 ．
14.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘，AB=BC=BB1=1，则AB1与BC1所成角大小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知平面内两点A(6,−6)，B(2,2)．
(1)求过点P(1,3)且与直线AB垂直的直线l的方程；
(2)若△ABC是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线AC的方程．
16.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a2+c2−b2=ac，a=3，csA=53．
(1)求B的值;
(2)求b的值;
(3)求sin(2A−B)的值．
17.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，C1D1的中点．
(1)求证：B1F//平面A1BE；
(2)求直线B1F到平面A1BE的距离．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB/​/CD，∠ADC=90°，且AD=CD=PD=2AB．
(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAD；
(Ⅱ)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；
(Ⅲ)在棱PB上是否存在点G(G与P，B不重合)，使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23？若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
在空间直角坐标系Oxyz中，这点P(x0,y0,z0)且以u=(a,b,c)为方向向量的直线方程可表示为x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)，过点P(x0,y0,z0)且以u=(a,b,c)为法向量的平面方程可表示为ax+by+cz=ax0+by0+cz0．
(1)已知直线l1的方程为x−12=y=−(z−1)，直线l2的方程为−(x−1)=y4=z−12.请分别写出直线l1和直线l2的一个方向向量．
(2)若直线l1:x−12=y=−(z−1)与l2:−(x−1)=y4=z−12都在平面α内，求平面α的方程；
(3)若集合M={(x,y,z)||x|+|y|+|z|=2}中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.D
6.A
7.C
8.C
9.CD
10.BCD
11.ABC
12.(12,32)(答案不唯一)
13.5225,3925
14.60∘
15.解：(1)根据题意，A(6,−6)，B(2,2)，
则kAB= −6−2 6−2 =− 2，
则直线AB的垂线的斜率为12，
故过点P(1,3)且与直线AB垂直的直线l的方程为y−3=12x−1，
即x−2y+5=0；
(2)AB的中点坐标为(4,−2)，由(1)可知线段AB的垂线的斜率为12，
线段AB的垂直平分线所在直线方程为y+2=12x−4，即x−2y−8=0，
因为△ABC是以C为顶点的等腰直角三角形，
所以，点C必在直线x−2y−8=0上，设点C为(2a+8,a)，
由BC⊥AC可得a+62a+8−6·a−22a+8−2=−1，
解得a=0或a=−4，
所以点C为(8,0)或(0,−4)，
则直线AC的方程为y−0−6−0=x−86−8或y+4−6+4=x−06−0，
即3x−y−24=0或x+3y+12=0．
16.解：(1)因为 a2+c2−b2=ac ，
由余弦定理可得 b2=a2+c2−2accsB ，
可得 csB=12 ，因为B∈(0,π)
所以 B=π3 ．
(2)由 csA=53 ，且A∈(0,π)，则 sinA=1−532=23 ，
由(1)知 B=π3 ，又因为 a=3 ，
正弦定理得： bsin B=asin A ，
则 b=94 ．
(3)因为 sin2A=2sinAcsA=459 ， cs2A=2cs2A−1=19 ，
所以 sin(2A−B)=sin2A−π3=12sin2A−32cs2A=45−318 ．

17.(1)
以A为原点，AB，AD，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系A−xyz．
由题意得B2,0,0，A10,0,2,B12,0,2，E0,2,1，F1,2,2．
所以BE=−2,2,1，BA1=−2,0,2，BF=−1,2,2．
设平面A1BE的一个法向量为n=x,y,z．
易知BE⋅n=0BA1⋅n=0⇒−2x+2y+z=0−2x+2z=0,
令x=2，得y=1,z=2，所以n=2,1,2．
∵B1F⋅n=−2+2+0=0，
∴B1F⊥n，又∵B1F⊄平面A1BE，
∴B1F//平面A1BE；
(2)
由(1)可知B1F//平面A1BE，故求直线B1F到平面A1BE的距离可转化为点B1到平面A1BE的距离，
因为B1B=0,0,−2，由(1)可知平面A1BE的一个法向量为n=2,1,2，
设直线B1F到平面A1BE的距离为d．
则d=B1B⋅nn=0+0−43=43．

18.解：(Ⅰ)证明：∵AB/​/CD，∠ADC=90°，
∴AB⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD.AB⊂面ABCD，
∴PD⊥AB，
∵PD⊂面PAD，AD⊂面PAD，AD∩PD=D，
∴AB⊥平面PAD；
(Ⅱ)以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=PD=2AB=2，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，
∴AB=(0,1,0)，PB=(2,1−2)，BC=(−2,1,0)，
由AB⊥平面PAD，可得平面PAD的一个法向量为m=AB=(0,1,0)，
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PB=0n⋅BC=0，即2x+y−2z=0−2x+y=0,
则可取n=(1,2,2)，
∴cs=m⋅n|m|⋅|n|=21× 1+4+4=23，
∴平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为23；
(Ⅲ)设G(x1,y1,z1)，设GB=λPB，(0