2024-2025学年上海市青浦高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市青浦高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.学校规定，只有拥有良好品德的学生才有资格评选三好学生，那么“某学生有良好的品德”是“该生是三好学生”的( )条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要
2.现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为( )
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92583556 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
A. 14B. 08C. 09D. 06
3.直线y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B两点，则弦长|AB|=( )
A. 1+k2⋅2|ab| a2k2−b2−m2|k2a2+b2|B. 1+k2⋅2|ab| a2k2+b2+m2|k2a2+b2|
C. 1+k2⋅2|ab| a2k2−b2+m2|k2a2+b2|D. 1+k2⋅2|ab| a2k2+b2−m2|k2a2+b2|
4.已知数列{an}不是常值数列，且满足an+2=αan+1+βanα+β(n是正整数)，若α+β≠0，则( )
A. 存在a1、a2，对任意α、β，都有{an}为等比数列
B. 存在α、β，对任意a1、a2，都有{an}为等比数列
C. 存在a1、a2，对任意α、β，都有{an}为等差数列
D. 存在α、β，对任意a1、a2，都有{an}为等差数列
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A=(1,3)，B=(2,4)，则A∪B= ______．
6.函数f(x)= x−1的定义域是______．
7.已知正数x，y满足xy=2，则x+y的最小值为______．
8.二次项式(1+x)5的展开式的第2项为______．
9.幂函数f(x)=x−23的单调增区间为______．
10.已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.3，P(A∩B)=0.15，则P(B)= ______．
11.关于x的不等式|x+1|+|x−3|≥a2+3a对x∈R恒成立，则a的取值范围为______．
12.向量a=(2,2)，向量b=(3,0)，则向量a在向量b上的投影向量为______．
13.复数z的共轭复数为z−，且满足z(z−+1)=3+i，则|z|= ______．
14.甲乙两人下棋，两人每盘棋获胜的概率均为0.5，现在两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得500元奖金.第一局，第二局比赛都是甲胜，第三局是乙胜.现在比赛因意外终止，鉴于公平，奖金应该分给甲______元.
15.已知函数f(x)=sin2x+2sinx，x∈[0,2]，则函数f(x)的最大值为______．
16.某数学建模小组的学生为了研究一个长方体的盒子最多可以放多少个小球，准备了一个长为10、宽为1、高为10的长方体盒子.他们将若干个直径均为1的小球完全放入盒中(小球的任何部分都不能在盒子外)，那么最多可以放______个小球．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)若AB=1，CD=BC=2，求直线AD与平面ABC所成角的大小；
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=x4−x2，x∈(−2,2)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)的单调性，并求不等式f(t)+f(1−2t)>0的解集．
19.(本小题14分)
中国电池制造行业在过去几年中呈现出惊人的增长和创新动力，尤其在新能源汽车和储能市场的强力拉动下，中国电池企业的数量、技术水平和市场地位均取得了显著突破.从行业集聚效应到技术创新，再到国际市场竞争力，中国电池产业正在展现出前所未有的活力与潜力.”中国电池企业总数已超过106万家，这一庞大的数量不仅显示了行业规模的扩张，更反映了中国在电池制造领域的快速发展.2024年前四个月新增注册12.47万家，这种增长势头表明，技术创新和市场需求扩张正在驱动行业持续前行.中国电池制造企业通过不断的技术创新和巨额研发投入，在全球市场中占据了主导地位.展望未来，随着电池技术的持续突破和市场需求的不断扩张，中国企业有望继续引领全球电池行业的发展.中国电池制造业正处在一个充满机遇与挑战的关键时期，持续的创新与合规将是其保持长久竞争力的关键．
某电池厂有A、B两条生产线，现从A生产线中取出产品8件，从B生产线中取出产品12件．
(1)若A生产线的8个产品可充电次数分别为200，192，208，230，194，210，220，226.那么这些数据的第60百分位数是多少？
(2)若A生产线测得8件产品的可充电次数的平均值为210，方差为4；B生产线测得12件产品的可充电次数的平均值为200，方差为4.求这20件产品组成的总样本的平均值与方差．
提示：方差公式
s2=(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2n=x12+x22+⋯+xn2n−x−2
20.(本小题18分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆Γ过点(0, 5)、(2,53)，过点F的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点(点P在x轴的上方)．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)若PF+2QF=0，求点P的坐标；
(3)设直线AP，BQ的斜率分别为k1、k2，是否存在常数λ，使得k1+λk2=0？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题18分)
若函数y=f(x)是其定义域内的区间I上的严格增函数，而y=f(x)x是I上的严格减函数，则称y=f(x)是I上的“弱增函数”.若数列{an}是严格增数列，而{ann}是严格减数列，则称{an}是“弱增数列”．
(1)判断函数y=lnx是否为(e,+∞)上的“弱增函数”，并说明理由(其中e是自然对数的底数)；
(2)已知函数y=f(x)与函数y=−2x2−4x−8的图像关于坐标原点对称，若y=f(x)是[m,n]上的“弱增函数”，求n−m的最大值；
(3)已知等差数列{an}是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数．记{an}的前n项和为Sn，设Tn=Sn+2λ2n(n是正整数，常数λ≥−2)，若存在正整数k和m，使得k>m>1且Tk=Tm，求λ所有可能的值．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.D
5.(1,4)
6.[1,+∞)
7.2 2
8.5x
9.(−∞,0)
10.0.5
11.[−4,1]
12.(2,0)
13. 5或 2
14.375
15.3 32
16.106
17.(1)证明：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
由三垂线定理可知，CD⊥AC，
因为BC⊥CD且AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，
因为CD⊂平面ACD，
所以平面ACD⊥平面ABC；
(2)因为CD⊥平面ABC，
所以∠CAD为直线AD与平面ABC所成的角，
因为BC=CD=2，∠BCD=90°，
所以BD=2 2，
因为AB=1，所以AD=3，
Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAD=23，
即直线AD与平面ABC所成的角为arcsin23．
18.解：(1)f(x)的定义域为(−2,2)，满足关于原点对称，
又f(−x)+f(x)=−x4−x2+x4−x2=0，
故f(x)为奇函数；
(2)证明：任取x1，x2∈(−2,2)，且x10，
所以(x1−x2)(4+x1x2)(4−x12)(4−x22)−f(1−2t)=f(2t−1)，
则要满足−2