2024-2025学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=11+i，则z的虚部为( )
A. −1B. 1C. −12D. 12
2.已知a是单位向量，向量b满足|a−b|=3，则|b|的最大值为( )
A. 2B. 4C. 3D. 1
3.已知角θ的终边在直线y=2x上，则csθsinθ+csθ的值为( )
A. −23B. −13C. 23D. 13
4.已知函数f(x)=ex+3−3a,x0，则实数a的取值范围为( )
A. a≤34B. a≥34C. a≤1D. a≥1
5.如图，圆柱的母线长为4，AB，CD分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB⊥CD，三棱锥ABCD的体积为83，则圆柱的表面积为( )
A. 10π
B. 92π
C. 4π
D. 8π
6.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则2|AF|+3|BF|的最小值为( )
A. 6+52B. 2 6+5C. 4 6+10D. 11
7.设函数f(x)=cs(x+φ)，其中|φ|0时，f(x)在区间(−1,1)内单调递减
D. 当ab>0时，f(x)有两个极值点
11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是( )
A. 函数f(x)=sinx+1是圆O：x2+(y−1)2=1的一个太极函数
B. 对于圆O：x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数
C. 对于圆O：x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形
D. 若函数f(x)=kx3−kx(k∈R)是圆O：x2+y2=1的太极函数，则k∈(−2,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=2x−lnx在点(1,2)处的切线与抛物线y=ax2−ax+2相切，则a= ______．
13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为椭圆C上一点，PF1⊥F1F2，△PF1F2的内切圆的半径为c3，则椭圆C的离心率为______．
14.设函数f(x)=ax+xx−4(x>4)，若a是从1，2，3，4四个数中任取一个，b是从4，8，12，16，20，24六个数中任取一个，则f(x)>b恒成立的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3 34，且AD=2DC，求BD的最小值．
16.(本小题15分)
已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为2 33，点(3, 2)在双曲线E上，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．
(1)求E的方程；
(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与双曲线的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
17.(本小题15分)
如图，侧面BCC1B1水平放置的正三棱台ABC−A1B1C1，AB=2A1B1=4，侧棱长为 2，P为棱A1B1上的动点．
(1)求证：AA1⊥平面BCC1B1；
(2)是否存在点P，使得平面APC与平面A1B1C1的夹角的余弦值为5 3333？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
若无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质：
①存在M>0，使得an