2025惠州博罗县高一上学期11月期中考试数学含解析

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本试卷共4页，19小题；总分：150分，检测用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的并集与补集运算求解即可.
【详解】因为，
所以，所以.
故选：D
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由存在量词命题得否定为全称量词命题即可得解.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：B.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由且可求得结果.
【详解】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C
4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解.
【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需，
解得，即的取值范围为.
故选：A
5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论和时，从而求出不等式恒成立时实数的取值范围.
【详解】当时，，解得，不合题意；
当时，，解得.
故选：.
6. 不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 或
D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数分类讨论得到结果.
【详解】，
①当时，明显不符合题意；
②当时，不等式的解集为，
由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故；
③当时，不等式的解集为，
由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故.
所以实数的取值范围为或.
故选：D.
7. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案
【详解】由题意得，，
则，
当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为．
故选：C
8. 已知则下列选项错误的是（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值．
依据最大值最小值的定义逐一分析选项可得结果.
【详解】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值．
对于选项A，因为，分别取中的一个最小值与一个最大值，
所以，故A正确．
对于选项B，当，则，，
所以；
当时，，，所以．
综上所述，，故B正确．
对于选项C，取，则，
而，此时，故C错误．
对于选项D，当，即时，，
因为，所以，，所以；
当，即时，，
因为，所以，，所以．
综上所述，，故D正确．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象经过点，则（ ）
A. 的图象经过点B. 的图象关于y轴对称
C. 在定义域上单调递减D. 在内的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．
【详解】将点的坐标代入，可得，
则，
所以的图象经过点，A正确；
根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，
函数在内值域为，故BC错误，D正确，
故选：AD．
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；
对于C，利用作差法知，
由，，知，
即，故C正确；
对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确.
故选：BCD
11. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C. 函数的值域是
D. 函数在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.
【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；
对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；
对C，函数，当时，，故C错误；
对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二次不等式的解集为，则的值为_______.
【答案】6
【解析】
【分析】由二次不等式与二次方程的关系可得，从而得解.
【详解】二次不等式的解集为，
则，且的两个根为和.
所以，解得.
所以
【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系，属于基础题.
13. 已知函数是奇函数，且当时，，则______，当时，______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】不妨设，则，将代入解析式，由即可求解．
【详解】设，则，又因为， ，
所以，
是奇函数，，所以，
即，且.
故答案为：①1
②
14. 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的充要条件，利用待定系数法求出函数的对称中心，再求值即可.
【详解】设函数图象的对称中心为，
设，则为奇函数，
且，则，
即，即，
整理得，于是，解得，
因此函数图象的对称中心为，则，
令，
则，
于是，解得，
所以.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
四、解答题：本大题共5小题，其中15小题13分，16题与17题每小题15分，18题与19题每小题17分，共77分.
15. 已知函数

（1）求的值；
（2）在给出的坐标系中画出函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域.
【答案】（1）1； （2）作图见解析，增区间为，减区间为，值域是.
【解析】
【分析】（1）判断并代入求出函数值.
（2）画出给定函数的图象，结合图象求出单调区间及值域.
【小问1详解】
函数，则，所以.
【小问2详解】
当时，，其图象是直线在轴及左侧部分；
当时，，其图象是抛物线在轴右侧部分，
函数的大致图象，如图：

函数的递增区间为，递减区间为，
当时，；当时，，
所以函数的值域是.
16. 设集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】
（1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知⫋，即可求m的取值范围.
详解】，
（1）时，，
∴；
（2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋，
又且，
∴，解得；
【点睛】本题考查了集合基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题.
17. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，.
（1）求的周长；
（2）试用表示，并求的取值范围；
（3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值.
【答案】（1）4； （2），；
（3）当时，的面积取得最大值.
【解析】
【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长.
（2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围.
（3）将面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可.
【小问1详解】
依题意，，
则≌，于是,
因此，
所以的周长为定值4.
【小问2详解】
由折叠知，则，即,
由（1）知，即，则，
在中，由勾股定理得，
即，化简得，
而,，则且，即，
所以，.
【小问3详解】
在中,，，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的面积取得最大值，为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求的值；
（2）用定义法判定的单调性；
（3）求使成立的实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）在上是增函数.
（3）.
【解析】
【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可；
（2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得；
（3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，解得，
验证：当时，.
由题意，的定义域关于原点对称.
且任意，都有，
所以是奇函数，满足题意.
故.
【小问2详解】
在上是增函数.
由（1）知，，.
证明：设，且，
则，
，，，
，，
∴fx在上是增函数.
【小问3详解】
，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
则，
由（2）知在上是增函数，
所以，即，解得.
故实数的取值范围是.
19. 对于集合M，定义函数对于两个集合，定义集合.已知
（1）写出和的值，并用列举法写出集合；
（2）用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；
（3）有多少个集合对，满足，，且？
【答案】（1）,,，
（2）4 （3）128
【解析】
【分析】（1）依据定义直接得到答案；
（2）根据题意可知：对于集合，①且，则；②若且，则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值．
（3）由⊆，且（△）△（△）=△求出集合所满足的条件，进而确定集合对（，）的个数．
试题解析：
【小问1详解】
，，.
【小问2详解】
根据题意可知：对于集合，
①且，则；
②若且，则.
所以要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.
所以当为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，取到最小值4.
【小问3详解】
因为，
所以.
由定义可知：.
所以对任意元素，，
.
所以.
所以.
由知：.
所以.
所以.
所以，即.
因为，
所以满足题意的集合对的个数为.
【点睛】本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.理解新定义是解题关键.