数学华东师大版（2024）3 角平分线教案

这是一份数学华东师大版（2024）3 角平分线教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教材分析，教学思路与教学设想，学法指导，学习者特征分析，教学媒体，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、知识与技能：
1、掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；
2、知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；
3、能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等.
二、过程与方法：
通过阅读，动手证明，在理解、掌握两个定理和一个事实，积累证明依据的同时，掌握用逻辑推理方法证明的格式，经历小组合作讨论，进一步发展学生合作交流的能力，发展逻辑思维能力和表达能力.
三、情感、态度、价值观：
1、通过本课的教学活动，再次感受数学中证明过程的严谨性，以及结论的确定性.
2、在独立思考和独立完成一个定理和一个数学事实的证明的基础上，积极参与讨论交流，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，在交流中获益.
3、体验利用手持式图形计算设备充当数学认知工具的乐趣.
【教材分析】
一、地位和作用：
通过本节课的学习，使学生认识到以直观感知操作来确认获得结论的方法的局限性和利用逻辑推理进行证明的必要性，为进一步学好逻辑推理打下基础.
二、教学重点：角平分线性质定理的分析与证明.
三、教学难点：角平分线的性质定理、判定定理及“三角形三条角平分线交于一点”的证明过程的表达.
【教学思路与教学设想】
先让学生回顾初一下通过动手操作观察得出的角平分线这一性质，再利用手持式图形计算设备让学生直观认识这一性质定理，然后引导学生用逻辑推理的方法加以证明.通过对“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”这个定理的证明，让学生进一步掌握推理论证的方法，学会由公理出发证明有关的定理，解决一些简单的逻辑推理问题.本节课主要培养学生自主探索、合作交流、解决问题的能力，使学生养成言之有理的正确的思维习惯.
【学法指导】以学生归纳、分析、合作交流为主，教师给予点拨、指导、总结.
【学习者特征分析】
学生的知识技能基础：在本章前面几节课中，学生已经认识了角平分线，学习了三角形全等的判定，懂得作已知角的平分线、如何过一已知点作已知直线的垂线，为接下来的学习奠定了知识和技能基础.
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用数学画板探索验证数学结论的活动，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
【教学媒体】电脑，多媒体课件、数码学习机、《数学画板》软件等.
【教学过程】
（一）情境引入，复习旧知，明确目标
教师活动：通过上一节课的学习，我们知道往往性质定理与其相应的判定定理是互为逆定理，这节课我们将探究角平分线的有关定理内容.同学们回忆一下，角平分线有什么性质呢？这条性质是怎样得到的呢？过去我们在验证这个定理的正确性时是在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质.其实这种验证方法是不严密的，下面我们用逻辑推理的方法来证明这一性质.
（二）动手操作，合作探究，发现新知
教师活动：1、提出第一个作图任务.2、通过屏幕提示作图步骤.3、引导学生观察得到：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.4、引导学生写出已知、求证、证明.
学生活动：动手操作数学画板，验证并表达结论，试写出证明过程.
已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足.
求证：PD＝PE.
分析 观察图形发现PD、PE分别落在△OPD与△OPE中，要证明PD=PE，只要证明△OPD≌△OPE.由已知：OC是∠AOB平分线可得∠AOC＝∠BOC，由PD⊥OA，PE⊥OB可得∠ODP＝∠OEP＝90º，又因为OP为公共边可得三角形全等.
证明：∵ OC是∠AOB平分线
∴ ∠AOC＝∠BOC
∵ PD⊥OA， PE⊥OB
∴ ∠ODP＝∠OEP＝90º
在△OPD和△OPE中
∴ △OPD≌△OPE
∴ PD＝PE
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
作图过程如下：
1、利用角的工具选择“角平分线”做出∠ABC（顺时针方向新建点A，B，C）
2、在角平分线上新建点D，利用点和线工具在屏幕上过点D分别作出角两边的垂线，交点分别为点E、F.

3、在属性中选择“隐藏”工具，隐藏垂线b、c，然后利用点和线工具作线段DE、DF.
4、利用测量工具中的“距离”测出线段DE和DF的长度.
5、利用移动工具中的“移动点”，拖动点D，观察线段DE、DF的长度.再调整∠ABC的大小，观察线段DE、DF的长度.

5、在属性中对点名称进行改换，再隐藏所有线段名称.并可以利用工具调整名称位置将点进行改换位置.
（三）例题分析，巩固新知：
教师活动：呈现问题，分析问题，启发学生解题思路.
例题1：如图，在Rt△ABC中，CD是∠C的平分线，DE⊥BC，垂足为E，DA与DE相等吗？为什么？
答：DA＝DE
∵ CD是∠ACB的平分线 （D在∠ACB的平分线上）
又∵ DE⊥CB，垂足为E，DA⊥AC，垂足为A
∴ DE＝DA
学生活动：思考解题思路，讨论回答问题
作图过程如下：
1、利用多边形工具作出直角三角形ABC.
2、利用角工具中的“角平分线”作出角ACB的角平分线，交AB于点D，选择线和点工具的“垂线”过点D作DE垂直BC，垂足为点E.

3、隐藏直线b，连结点D、E；隐藏射线a，连接点C、D.
（四）动手操作，合作探究，发现新知
教师活动：1、引导学生写出角平分线性质定理的逆命题.2、让学生猜想：这个点是否在这个角的角平分线上？3、引导学生表达结论，写出已知、求证、证明.
学生活动：猜想结论，动手操作数学画板，验证并表达结论，讨论推理过程，动手写出证明.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
分析 要证点P在∠AOB的平分线上，即PO是∠AOB的平分线，画射线OP，只要证∠AOP＝∠BOP，利用H.L.证明△DOP≌△EOP，得∠AOP＝∠BOP.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90º
在Rt△DOP与Rt△EOP中
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP
∴ ∠AOP＝∠BOP
∴ OP是∠AOB的平分线
即点P在∠AOB的平分线上
角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
作图过程如下：
1、作∠AOB，在∠AOB内部任取一点P，选择线和点工具的“垂线”过点P作PD垂直OA，垂足为点D.过P作PE垂直于OB，垂足为点E.
2、利用移动工具中的“移动点”，拖动点P，让学生观察点P到角的两边距离相等.
3、连接OP，利用测量工具中的“角度”，测出角AOP与角BOP的度数，让学生发现这两个角的度数相等.

教师活动：1、提出第二个作图任务：作一个三角形的三条角平分线.2、观察三条角平分线是否交于一点.3、引导学生表达结论：任意三角形的三条角平分线交于一点.4、通过分析，引导学生写出已知、求证、证明.
学生活动：猜想结论，动手操作数学画板，验证并表达结论.
分析 要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上就可以了.
已知：如图， AD、BE分别是△ABC中∠A、∠B的角平分线，AD、BE相交于点G，
求证：∠C的平分线也过点G.
说明
（1）根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；
（2）三角形三条角平分线的交点就是三角形的内心（内切圆的圆心）.
作图过程如下：
1、利用多边形工具中的“多边形”，在屏幕上作一三角形ABC（取点顺序为A、B、C、A）.再利用角工具中的“角平分线”，分别作出三个内角的角平分线，分别与三条边交于点D、E、F.请同学们观察三条角平分线是否交于一点G？然后利用移动工具中的“移动点”，拖动三角形中的任意一个顶点，观察三条角平分线是否交于一点？

选择线和点工具中的“垂线”，过点G分别作三条边的垂线，分别交三条边于点H、I、J.再隐藏三条角平分线和三条垂线.最后分别连接AD、BE、CF、GH、GI、GJ.
（五）知识检测，练习反馈
教师活动：屏幕呈现问题，引导学生正确求解.题目如下：
1、如图（1），∵ ∠1＝∠2， DC⊥AC， DE⊥AB，
∴ ＝ （ ）.
2、判断题 如图（2），∵ AD平分∠BAC（已知），
∴ BD＝DC（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.

（1） （2）
3、如图（3），在直线l上找一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等.

（3） （4）
4、如图（4），已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
学生活动：小组思考交流，达成共识，回答问题.
（六） 小结：学生互相交流总结这节课的体会，重新回顾这节课的知识点以及新知识点应用方面的一些技巧.
1、今天我们学习了用逻辑推理的方法证明角平分线性质定理与判定定理，同学们要掌握这两个定理的内容及其应用，同时要掌握三角形的三条角平分线相交于一点，并会应用这个定理.
2、角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明.
3、角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，在应用中要注意它们的区别.
4、三角形三条角平分线的交点就是三角形的内心，它到三角形三边的距离相等.
5、学会用数学画板直观的研究几何问题，从图形的运动中弄清图形的内在关系，有利于深化对所学知识的理解.
（七） 布置作业：
P94页习题13.4第4题，P97页第8题
设计意图：让学生积极思考，调动学生学习的积极性，为学生接受新知做好铺垫.
设计意图：让学生借助数学画板作为认知工具，经历实验、验证的过程，发现角平分线上的点到这个角的两边距离相等，并通过动画，让学生直观得到用推理方法证明只需证明两个三角形全等；根据学生的技术熟练程度，适当提供操作帮助；小组合作学习，所有问题都需小组成员独立思考得出结论性内容并书写清晰，然后小组共同探索讨论最后达成一致意见.
设计意图：通过分析、思考，培养学生分析能力及逻辑推理能力.
设计意图：让学生借助数学画板作为认知工具，经历实验、验证的过程，让学生讨
论，培养学生合作精神，鼓励学生发表自己的见解.
设计意图：检验所学知识，发现问题及时反馈，促进知识目标的达成.让学生做到思说合一，以便能触类旁通，融会贯通.