浙江省杭州市2023-2024学年高二(上)期末数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市2023-2024学年高二(上)期末数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为或，，
则.
故选：D.
2. 已知，为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，
故.
故选：C.
3. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
因为，所以，解得.
故选：A
4. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意：.
故选：A
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】因为，则，由已知可得，
解得，
故.
故选：D.
6. 数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意可得，
，
两式相减可得.
故选：B
7. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，则，，
所以，
所以由不能推出，充分性不成立；
反之，成立，即必要性成立；
，则“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
8. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：
由圆的几何性质可知，，
因，，，
所以，，
所以，，则，
设，则为的中点，
由勾股定理可得，
由等面积法可得，
所以，当取最小值时，取最小值，由，可得，
所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，
则，因为，解得.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（ ）
A.
B. 这组数据的中位数为4
C. 若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D. 这组数据的第70百分位数为5.5
【答案】ACD
【解析】由题意得，解得，故A正确；
将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；
若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为，故C正确；
因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．
故选：ACD．
10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 是锐角三角形
D. 的最大内角是最小内角的倍
【答案】AC
【解析】对于A，由正弦定理可得，A对；
对于B，由余弦定理可得，，
，
所以，，B错；
对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；
对于D，由题意知，为最小角，则，
因为，则，则，D错.
故选：AC.
11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（ ）
A. 一定不存在点E，使平面
B. 一定不存在点E，使平面
C. 以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面的交线长为
D. 的最小值
【答案】ACD
【解析】对于A，在四棱锥中，面，因为面，
所以，因为底面是正方形，所以，
以为原点，射线分别为轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
，
显然面的一个法向量为，
而，
即不垂直，
所以与平面不平行，故A正确；
对于B，又，
所以，即，
若，
则，
所以存在点，使得，
又平面，
所以平面，故B错误；
对于C，由题意球面与的交线如图中圆弧，
而，所以，
所以圆弧的弧长为，故C正确；
对于D，由于面，面，所以，
而，面，所以面，
又面，所以，
同理，且，
把展开到同一平面内，要使取得最小值，当且仅当点在上，且，如图，
因为，
所以由勾股定理得，
所以，
而，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于函数，可得，
可得，则，
所以，函数的图象关于直线对称，
由，得，
由，得，
作出函数、、的图象如下图所示：
由对称性可知，点、关于直线对称，
对于A选项，，，A对；
对于B选项，由，可得，所以，，
故，B对；
对于C选项，若，由可得，则，
这与即矛盾，所以，，
，C对；
对于D选项，因为，，由不等式的基本性质可得，D错.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 过、两点的直线的斜率为_______．
【答案】
【解析】由已知可得.
故答案为：.
14. 在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】因为，，，则，则，
将直三棱柱补成长方体，如下图所示：

所以，直三棱柱的外接球直径为，
因此，该直三棱柱的外接球的表面积为.
故答案为：.
15. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】因为
.
又.
因为.
故答案为：
16. 已知双曲线：的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P,直线PF与C的一个交点为Q，，且，则C的离心率为________．
【答案】
【解析】如图：
因为，，由对称性，不妨设P在x轴上方，设.
由
所以：.
所以点坐标为，所以轴.
过作轴的垂线，过作轴的垂线，相交于点.
则，又，
所以，
可得点坐标为，
因为在双曲线上，所以或（舍去）.
故答案为.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值．
解：（1）因为，
则，
故函数的最小正周期为.
（2）当时，，
所以，函数在上单调递增，故.
18. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．

（1）求的值；
（2）求证：．
解：（1）因为，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
19. 树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；
（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；
（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．
解：（1）组的频率为：.
所以补全频率分布直方图为：
因为组对应的小矩形最高，
所以估计本次知识竞赛成绩的众数为.
（2）由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：
所以这名参赛同学中估计进入复赛的人数为：.
（3）从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取人，
因为第一、二、六组的频率之比为，
所以第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人.
设这人分别为：，从这6人中任选2人的抽法有：
基本事件总数，
所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件有：
基本事件个数.
所以所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为.
20. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面．

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐角的余弦值．
解：（1）连接、，
因为四边形为正方形，则，，
因为，，，，则，
由余弦定理可得，
所以，，则，则，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，
因为平面，则，
因为，、平面，则平面，因为平面，则，因为，、平面，则平面，因为平面，则.
（2）因为平面，，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，
因此平面与平面所成锐角的余弦值为.
21. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．

（1）求曲线的方程；
（2）点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设点、，则，
因为，所以，
则，则，所以，
因为点在圆，则，所以，整理可得，
由于点与点不重合，所以，
因此曲线的方程为.
（2）存在定点满足题意，理由如下：
记，则直线的方程为，
联立，得，
解得，则，

故点，所以点，则，
因为，则，
在直线中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
所以存在定点，使得.
22. 已知函数和定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 （其中），则称为的“重覆盖函数”．
（1）判断是否为的“n重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
（2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围（无需解答过程）．
解：（1）因为，，，
则，
由定义可得，对任意，恰好存在不同的实数， ，使得，（其中，2，，），
即，可得，
所以对于任意，能找到一个，使得，
是的“重覆盖函数”， 且；
（2）可得 的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，，使得 （其中），
，则，
，即，
即对任意，有个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，
解得，
当时，抛物线开口向下，，，若仅有1个根，
由知，
当时，，所以无解，则只需，
解得，
综上，实数的取值范围是；
（3）因为，
当时，当时且，
当且仅当时取等号，
所以，
综上可得，即，
则对于任意，，要有个根，
，
作出函数的图象（部分），如图：
要使，有个根，则，
又，则，
故正实数的取值范围．