江苏省徐州市贾汪区2023-2024学年高一(上)1月期末抽测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省徐州市贾汪区2023-2024学年高一(上)1月期末抽测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，因此.
故选：B.
2. 已知扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的弧长为弧度，则，解得，
所以该扇形的面积为.
故选：C.
3. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
因此有，所以实数的最小值为.
故选：C.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，例如，满足，但是不满足，A不正确；
对于B，例如，满足，但是不满足，B不正确；
对于C，例如，满足，但是不满足，C不正确；
对于D，因为为增函数，所以，D正确.
故选：D.
5. 若，则（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，，
所以
.
故选：A.
6. 2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）. 当时，大约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于5000远大于1，
故
，
因为，所以.
故选：B.
7. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
令，其在上单调递增，
又在上单调递减，所以函数在上单调递减，
令在上单调递增，
当时，，
当且仅当，即时，取等号，所以
由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
，
，
，
因为，所以.
故选：A.
8. 已知函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
如图，作出函数的图象，
由，
得，且，则，
故，
即，
因为关于的方程有三个不同的实数解，
所以关于的方程的两根分别位于和上，
令，
当，即或时，
若，则，解得，不符题意，
若，则，解得或，不符题意，
所以，
则，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】A：由，因此本选项说法正确；
B：由不等式的性质可知由，，因此本选项说法正确；
C：若，，显然，成立，但是不成立，
因此本选项说法不正确；
D：因为，，所以
，因此本选项说法正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为第三象限角
B. 函数的定义域是
C. 函数的图象恒过点
D. 与角终边相同的角的集合可以表示为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以为第三象限角，故A正确；
对于B，由函数，得，解得且，
所以函数的定义域是，故B错误；
对于C，令，得，则，
所以函数的图象恒过点，故C正确；
对于D，，
所以与角终边相同的角的集合可以表示为，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（ ）
A. 点的纵坐标为1
B. 在上单调递增
C. 点是图象的一个对称中心
D. 的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AC
【解析】A选项，由题意得的最小正周期为，即，
又，故，解得，
故点的纵坐标为1，A正确；
B选项，中，令得，
故，解得，
又，求出，故，
当时，，
由于在上不单调递增，故B错误；
C选项，令，解得，
当时，，故点是图象的一个对称中心，C正确；
D选项，的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到，再将得到的图象向左平移个单位，得到，
D错误.
故选：AC.
12. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. 4为的一个周期
B.
C. 由可知，
D. 函数的所有零点之和为0
【答案】ABD
【解析】因为为奇函数，所以，即，
因为为偶函数，所以，所以，
即，所以，
所以4为的一个周期，故A正确；
因为，所以，所以，
又因，所以，所以，故B正确；
因为，所以，
因为4为的一个周期，所以，
则，所以，故C错误；
因为，所以，，
又因为，所以，所以函数为偶函数，
令，得，
令，定义域为关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，
所以函数得交点关于轴对称，
所以函数的所有零点之和为0，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 写出一个同时满足下列条件①②的幂函数的解析式：______.
①在上单调递增；②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，因为在上单调递增，所以；
因为，所以，所以的值可以为2,3,4.
故解析式为：（答案不唯一满足即可）.
14. 若在上是增函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为在上是增函数，
所以有，所以实数的取值范围是.
15. 若，，则的值为______.
【答案】
【解析】由
，
因此，
于.
16. 已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】若恒成立，则，
所以，即，又在区间上单调递增，
所以，故，，
解得，令得，又，所以，
令得；当时，，不合题意；
综上可得或.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）求的真子集；
（2）若______，求实数的取值集合.
从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答.
①“”是“”的充分条件；②.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（1），
所以集合的真子集有.
（2）选①，因为“”是“”的充分条件，所以，
当时，，符合题意，
当时，，
因为，所以或，所以或，
综上所述，实数的取值集合为.
选②，因为，所以，
当时，，符合题意，
当时，，
因为，所以或，所以或，
综上所述，实数的取值集合为.
18. 已知.
（1）若是第一象限角，求的值；
（2）求的值.
解：（1）因为，
所以，又，所以，
因为是第一象限角，所以.
（2）
.
19. 中国茶文化博大精深，有十大名茶，如西湖龙井、黄山毛峰等. 某地有一茶山，前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤. 为了估测以后每次的采茶量，以这三次的采茶量为依据，用一个函数模拟该茶山的单次产量（单位：斤）与次数的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（，，为常数）. 已知第4次的产量为1360斤. 问：用以上哪个函数模拟较好？为什么？
解：若模拟函数选用二次函数，
设二次函数解析式为，
因为前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤，
所以有，
若模拟函数选用函数，
因为前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤，
所以有，
因为，所以的值更接近1360，
所以选用函数为好，此时函数解析式为.
20. 已知函数，用“五点法”画一个周期的图象，列表如下：
（1）求的解析式，并求当时，的值域；
（2）若，求的值.
解：（1）由表中数据可得，，解得，
又，，，
，
又，，
即，，又，所以，
所以.
当时，，，
，所以的值域为.
（2）由，得，即，
，
，
.
21. 已知函数.
（1）证明：是奇函数；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.
解：（1）函数，
由，所以的定义域为，显然关于原点对称，
因为，
所以是奇函数.
（2）由，因此函数的定义域为，
，
设，
于是有，
因此有，
所以是上的增函数.
（3），
所以由，
因为函数是奇函数，
所以由，
因为函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位得到，
而是上的增函数，
所以函数是上的增函数，
于是由，
因为，所以，
设，
，
显然，
由，
因为，所以，
因此要想恒成立，只需，
由，
因为，所以，当且仅当时取等号，于是有，
综上所述：
因此实数的取值范围.
22. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
（1）判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
（2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
（3）设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解.
解：（1）由题知，函数，定义域为R，
所以，
所以函数是“2-利普希兹条件函数”；
函数，所以，
当时，则，
函数不是“2-利普希兹条件函数”.
（2）若函数“利普希兹条件函数”，
则对于定义域上任意两个，均有成立，
不妨设，则恒成立，
因为，所以，得，
所以的最小值为2．
（3）因为函数是“利普希兹条件函数”，
所以在R上恒成立，即在R上恒成立，
由，得.
因为是函数的零点，则，
又是函数的零点，则，又，
所以，而，故，
设，，
由，，
得，由零点的存在性定理知函数在上有零点，
即方程在上有解.



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