江苏省常州市2023-2024学年高一(上)期末学业水平监测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市2023-2024学年高一(上)期末学业水平监测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 设全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为,
所以，，
，，或，
.
故选：B.
3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 为偶函数且在区间上单调递增
B. 为偶函数且在区间上单调递减
C. 为奇函数且在区间上单调递增
D. 为奇函数且在区间上单调递减
【答案】B
【解析】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，所以，解得，
故，定义域为，定义域关于原点对称，
，所以为偶函数，
又因为，所以在区间上单调递减.
故选：B.
4. 已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设扇形半径为，则，，所以.
故选：D.
5. 设a，b，m都是正数，且，记，则（ ）
A. B.
C. D. 与的大小与的取值有关
【答案】A
【解析】由，且，即，
可得，即.
故选：A.
6. “函数在区间上单调递增”的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，定义域为，，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增”的充要条件是.
故选：C.
7. 将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的．若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线的图象；
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线的图象；
最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的的图象.
由于曲线恰好是函数的图象.
在区间上，，，.
故在区间上的值域是.
故选：B.
8. 已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，且在单调递减，
所以的最小值为，
可得，且，
所以在上单调递增，所以，
因为存在，满足，
则，
所以，
解得：.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限，
根据图象的性质可得：，即.
故选：BD.
10. 下列不等式中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，幂函数在上单调递减，，
所以，故A错误；
对于B，指数函数在上单调递减，，
所以，故B正确；
对于C，对数函数在上单调递减，，
所以，故C正确；
对于D，余弦函数在上单调递减，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于任意，，
故函数图像应该是上凸的，此时，如图所示：
或者函数图像是一条直线，此时，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：ACD满足条件.
故选：ACD.
12. 已知函数（其中均为常数，且）恰能满足下列4个条件中的3个：
①函数的最小正周期为；②函数的图象经过点；③函数的图象关于点对称；④函数的图象关于直线对称．
则这3个条件的序号可以是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】AB
【解析】若①正确，则，解得；
若②正确，则，，，故；
若③正确，则，；
若④正确，则，；
对选项A：，取，，满足条件，此时④不满足，正确；
对选项B：，取，，满足条件，此时③不满足，正确；
对选项C：，，，不成立，错误；
对选项D：相减得到，，则，，
此时，
整理的，，而，故不成立，错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】函数，则，
所以.
14. 已知为第二象限角，且满足，则______．
【答案】
【解析】，则，即，
故，
为第二象限角，故，，，
解得，，故.
15. 已知在中，，若的内接矩形的一边在BC边上，则该内接矩形的面积的最大值为______．
【答案】150
【解析】如图，过点向作垂线，垂足为，交于点，
设矩形与，分别交于点，与交于点，
且，，
由题意知，，所以，
又因为，，
所以，即，其中，
矩形面积，，
当时，取得最大值150.
16. 设分别为定义在上的奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为______．
【答案】4047
【解析】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数.
所以，.
所以，得到.
则，
因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数.
由复合函数的单调性易得为上的增函数，
又，则，，故，
所以的值域为.
则与曲线为周期为的函数在区间上的交点，
可以分为，两部分进行分析，
则当时，一个周期内有两个交点，则一共由2024个交点，
则当时，去掉在0处的交点，则一共有交点2023个交点，
所以两个函数一共有交点4047个交点.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）已知，计算的值并证明．
解：（1）
.
（2）因为，所以，，
，
因为，，
所以，且，
所以，即.
18. 设集合，集合，集合．
（1）求；
（2）当时，求函数的值域．
解：（1）因为，且，
当，原不等式等价于，解得或，
当，原不等式等价于，无解，
所以，，
因为，所以 ，即，
所以，
所以.
（2）当时，，
因为，所以，所以，
所以，令，
又在上单调递增，所以，
所以函数的值域为.
19. 在平面直角坐标系xOy中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，
，所以，且，
解得.
（2）
，
因为，所以，
所以原式.
20 已知函数，其中．
（1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值；
（2）若的最小值为，求．
解：（1）当时，，
令，，则，
的图象对称轴为，开口向上，
所以当时，即时，取得最小值，最小值为，
当时，即时，取得最大值，最大值为，
所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时.
（2）因为
的最小值为，
所以，
且，所以，
又，所以.
21. 已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设函数．
（1）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心；
（3）若不等式对恒成立，求实数的最大值．
解：（1）在上单调递减，证明如下：
设，则，
，则，
故，即，函数在上单调递减.
（2），
则，
故函数的图象的对称中心为.
（3）设，故奇函数，且在上单调递减，
，即，即，
则在上恒成立，即，，
，当且仅当时等号成立，
故，即的最大值为.
22. 已知．
（1）若为奇函数，求的值，并解方程；
（2）解关于的不等式．
解：（1）的定义域为R，
因为为奇函数，则，
解得，故，
又，即，
所以函数为奇函数，故.
又，即，
解得，即.
（2）因为，， ，
关于的不等式可转化为
，
即，
①当时，；
②当时，，解得，
③当时，或，
解得或，，
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.