江苏省南通市2023-2024学年高一(上)期末质量监测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市2023-2024学年高一(上)期末质量监测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的面积为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】扇形面积为.
故选：B.
2. 已知全集，集合，或，则（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】因为,或，
所以，所以.
故选：D．
3. 函数，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，则
，当且仅当时，即当时，
等号成立，
故函数，的最小值为.
故选：B.
4. 若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由角的终边经过点，
故，，
故
故选：C.
5. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于函数为定义域内的单调递增函数，
且，，
故由零点存在定理可得零点位于区间.
故选：C.
6. 设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，且，故，
即有，解得，
又，，故，即，
综上，.
故选：B.
7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，是偶函数，
是奇函数，
则，可得，①
，可得，②
联立①②可得，
所以，，
因此，
.
故选：D.
8. 已知函数，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又因为，故函数为偶函数，
因为函数在上为增函数，函数在上为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，
因为，所以，，则，则，
所以，，
所以，，
，，，故
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，.
故选：AC.
10. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对A：取，，，，则，，故A错误；
对B：由，，则，则有，
故B正确；
对C：由，，则，且等价于，
等价于，等价于，即C正确；
对D：由，，则，
，即等价于，
由，即等价于，等价于，即，故D正确.
故选：BCD.
11. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】A选项，，故在上单调递减，A错误；
B选项，的定义域为R，且，
故为偶函数，
当时，，在上单调递增，B正确；
C选项，定义域为，
，故为偶函数，
又在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递增，C正确；
D选项，定义域为R，，
故为奇函数，D错误.
故选：BC.
12. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（ ）
A. 小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时
B. 小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为
C. 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为
D. 小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是
【答案】BC
【解析】由题意可知，，则，
对于A选项，函数的最小正周期为，
所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错；
对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为，B对；
对于C选项，因为当时，，
由可得或，
解得或，
易知，，则的可能取值有：、、、、、、，
小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对；
对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次，
所以，，因为，则，
所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，
则所用时间的范围是，D错.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，若、是的方程的两个实根，则角_________________.
【答案】
【解析】对于方程，则，
解得或，
因为、是的方程的两个实根，
由韦达定理可得，，
所以，，
因为，则，故.
14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】因为函数在上单调递增，
易知函数在上单调递增，
函数在上单调递增，则，且有，解得，
所以，，即实数的取值范围是.
15. 已知，，则的一个取值为_________________.
【答案】（或）
【解析】因为，，
且
，
所以，，故.
16. 若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________.
【答案】 且，
【解析】设函数的2次方膨胀区间为，
由于函数为上单调递增函数，
所以且，由于，解得，
故的2次方膨胀区间为，
由于为开口向上的二次函数，且对称轴为，
设存在4次方膨胀区为，
若，则为上的单调递减函数，
所以且，
相减可得，这与矛盾，
故不符合题意舍去，
若，则为上的单调递增函数，
所以且，
因此是方程的两个不相等非负实数根，
令，则有两个不相等非负实数根，
记，
所以，解得且.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1），则，
，
，则或，解得或，
故实数的取值范围为或.
（2）当时，则，且集合A不为空，则，解得，
所以若时，则实数的取值范围为或.
18. 已知，，，.
（1）求；
（2）求.
解：（1）因为，则，，
由可得，
所以，.
（2）因为，，则，所以，
所以，
因此
.
19. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）讨论的单调性.
解：（1）对于函数，有，解得，
所以函数的定义域为.
（2）函数为偶函数，证明如下：
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且，
故函数为偶函数.
（3）因为，
令，因为内层函数在上单调递增，在上单调递减，
外层函数为上的增函数，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减.
20. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及单调减区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 若对任意、，，求实数的最小值.
解：（1）由图可得，
函数的最小正周期为，则，
所以，
因为，可得，
因为，则，所以，所以，
因此，
由解得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，
可得到函数，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则，
当时，，则，则，
对任意的、，，
则，故实数的最小值为.
21. 如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·
（1）若，求梯形的高；
（2）求四边形面积的最大值.
解：（1）连接，过点作于点，交于点，
由，，扇形半径为4，分别为的中点，
故，，，，
则，故为等边三角形，
则，,
故梯形的高为.
（2）设，则，
且此时，四边形面积为：
，
∴时，取最大值
22. 已知函数（且），点在其图象上.
（1）若函数有最小值，求实数的取值范围；
（2）设函数，若存在非零实数，使得，求实数的取值范围.
解：（1）由题意可知，，且且，则，则，
所以，，
令，则，
当时，函数在上无最小值，不合乎题意，
当时，要使得函数在上有最小值，则，
解得，
因此，实数的取值范围是.
（2）已知函数，若存在非零实数，
使得，
①当时，由可得，
可得，
不妨设，，则，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，则；
②当时，不妨设，
由，可得，可得，
令，其中，任取、且，
则，且余弦函数在上单调递减，
所以，，则，
因为，则，
由不等式的基本性质可得，即，
所以，函数在上单调递减，
又因为函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
且，，
所以，当时，，即；
③当时，不妨设，由，
可得，直则，
因为函数、在上单调递增，
则函数在上单调递增，则，即.
综上所述，实数的取值范围是.