初中数学浙教版（2024）七年级上册（2024）6.8 余角和补角精品ppt课件

1. 理解余角和补角的概念，准确判断两个角是否互为余角或补角;2. 掌握余角和补角的性质，能运用性质进行简单的角度计算和推理;3. 学会运用余角和补角的知识解决实际问题，如在几何图形中求角度、解释生活中的角度现象等。
如图，在Rt∠AOB 的内部画射线 OC，则有∠1＋∠2＝Rt∠AOB。∠3＋∠4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？
如图，类似地，在平角∠AOB 的内部画射线OC，则有∠AOC＋∠BOC＝∠AOB。∠α＋∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？
∠3与∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4也是∠3的余角。
∠α与∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。
注意(1)互余、互补是两个角之间的关系,若三个角的和等于 90°或180°,不能称为互余或互补.(2)互余、互补只与两个角的角度有关,与位置无关.(3) ∠α的余角可以记作 90°- ∠α, ∠α的补角可以记作180°-∠α.
1.如图，已知∠1＝42°，∠2＝138°，∠3＝48°。图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。
【解析】⸪∠1+∠2=42°+138°=180°⸫∠1和∠2互为补角⸪∠1+∠3=42°+48°=90°⸫∠1和∠3互为余角。
2.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。
【解析】⸪∠AOC+∠BOC=180°，∠AOD+∠BOD=180°⸫∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BOD分别互补。⸪∠BOD+∠DOC=∠BOC=∠AOC=Rt∠.⸫∠BOD与∠DOC互余。
3. 填空：(1)∠α的余角＝90°－________ ；(2)∠β的余角＝ ________－∠β。
【解析】(1)∠α的余角＝90°－∠α(2)∠β的余角＝90°－∠β
当∠α＝∠β时，就有∠α的余角与∠β的余角相等，也就是说，同角或等角的余角相等。同样可以得到：同角或等角的补角相等。
方位角:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。
注意：方位角在叙述时，一般先说南北,后说东西,如南偏西20°。当与南北方向夹角为45°时,常简称东北、东南、西北、西南,如北偏东45°为东北方向。
▶例1 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。【解析】在图中，∠AOB＝∠COD。理由如下：因为∠AOC＝∠BOD＝Rt∠，所以∠AOB＋∠BOC＝Rt∠，∠COD＋∠BOC＝Rt∠，即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，所以∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）。
▶例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。【解析】设这个角为x度，则这个角的余角是（90－x）度，补角是（180－x）度。由题意，得180－x＝4（90－x），解方程，得x＝60。所以这个角的度数为60°。
【例1】已知∠a=25°30',则它的余角为（ ）A.25°30'B.64°30'C.74°30'D.154°30'
B 【解析】∠a 的余角为 90°-∠a=90°-25°30'=64°30'。故选B。
【例2】若α=70°,则α的补角的度数是（ ）A.130°B.110°C.30°D.20°
B【解析】α的补角是180°-α=180°-70°=110°。故选B。
【例3】如图,点O在直线AB上角为∠COB=∠EOD=90°,那么下列说法错误的是( )A.∠1与∠2相等B.∠AOE与∠2互余C.∠AOD与∠1互补D.∠AOE与∠COD互余
D【解析】A.因为∠COB=∠EOD=90°，所以∠1+∠COD=∠2+∠COD=90°,所以∠1=∠2,A选项正确。B.因为∠AOE+∠1=90°，∠1=∠2,所以∠AOE+∠2=90°,即∠AOE与∠2互余,B选项正确.C.因为∠AOD+∠2=180°，∠1=∠2,所以∠AOD+∠1=180°,即∠AOD与∠1互补，C选项正确.D.∠AOE和∠COD的度数未知,故无法判断∠AOE与∠COD是否互余,D选项错误.故选D.
【例4】如图,若在飞机飞行时,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为“飞行方位角”,从A到B的“飞行方位角”为35°,即∠NAB=35°,从A到D的“飞行方位角”比从A到B的“飞行方位角”的4倍少10°,从A到C的飞行线恰好是从A到D的“飞行方位角”的平分线,且∠EAD=90°(1)求从A到D的“飞行方位角”的度数;(2)求∠EAC的度数.
【选做】5.如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它北偏东30°的方向上,海岛B在它南偏东60°方向上,则下列结论:①∠NOA=30°;②图中∠NOB的补角有两个,分别是∠SOB和∠EOA；③图中有4对互余的角;④货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上。其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
D 【解析】由题可知∠NOA=30°,故①正确;因为∠SOB=60°，∠AON=30°,所以∠NOB=120°，∠EOA=60°,所以∠NOB的补角有两个,即∠SOB和∠EOA,故②正确;图中互余的角有∠NOA和∠AOE,∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE,∠BOE和∠BOS,共4对,故③正确;根据方位角的意义可知,因为海岛B在货轮O的南偏东60°方向上,所以货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上,故④正确. 综上所述,正确的结论有4个,故选D.
知识点1 余角和补角1.如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。3.性质:同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。知识点2 方位角方位角:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。
【必做】1.如图,将一副三角尺按不同的方式摆放,下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是______(填序号).
① 【解析】①题图中∠α+∠β=180°-90°=90°,所以∠α与∠β互余,故①符合题意；②题图中∠α=∠β,不一定互余,故②不合题意;③题图中∠α+∠β=180°-45°+180°-45°=余270°,不是互余关系,故③不合题意;④题图中∠α+∠β=180°,不是互余关系,故④不合题意.故答案为①.
【必做】2.如图,点O在直线AB上，∠AOC=∠BOD=20°,则图中互补的角的对数是( ) A.1对B.2对C.3对D.4对
D 【解析】因为∠AOC=∠BOD=20°,且∠AOB=180°,所以∠AOD=∠BOC=160°,所以互补的角有∠AOC与∠AOD,∠AOC与∠BOC,∠BOD与∠AOD,∠BOD与∠BOC共4对,故选D.
【必做】3.如图,将一副三角尺的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠BOC=33°,则∠AOD=______。
147【解析】⸪∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠DOB+∠BOC=90°，⸫∠AOB+∠COD=∠AOC+∠BOC+∠DOB+∠BOC=180°.因为∠AOD=∠AOC+∠DOB+∠COB,所以∠AOD=180°-∠BOC=180°-33°=147°.故答案为147.
【必做】4.A,B,C三个城的位置如图所示,A在C的南偏西30°方向上,且∠ACB=145°,则B在C的方向上______。
北偏东65°【解析】因为A在C的南偏西30°方向上,且∠ACB=145°,所以 145°-30°-90°=25°,90°-25°=65°,所以B在C的北偏东65°方向上,故答案为北偏东 65°。
【选做】5.如图,点O是量角器的中心点,射线OM经过刻度线90.若∠AOB=∠COD,射线OA,OB分别经过刻度线40和60,∠COD在刻度线OM的右侧,则下列说法:①∠AOC=∠BOD；②若∠AOC与∠BOC互补,则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC=3∠COD,则图中共有6对角互为余角,其中正确的是______(填序号)。
①③ 【解析】①因为∠AOB=∠COD,所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,所以∠AOC=∠BOD,故原说法正确;②由题意可得∠AOB=60°-40°=20°=∠COD.因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠AOB+∠BOC+∠BOC=180°,即20°+∠BOC+∠BOC=180°所以∠BOC=80°，所以∠EOD=60°+80°+20°=160°,即射线OD经过刻度线160°,故原说法错误;
③因为∠MOC=3∠COD=60°,∠MOB=90°-60°=30°,所以∠BOC=90°,所以∠BOM和∠COM互为余角.因为射线OM经过刻度线90,所以∠EOM=∠FOM=90°,所以∠AOE和∠AOM，∠BOE和∠BOM,∠COM和∠COF，∠DOM和∠DOF，∠BOE和∠COF互为余角,即共有6对角互为余角故原说法正确.综上,正确的有③,故答案为①③.
【拓展题】将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于点O.(1)如图(1),若∠AOD=35°,求∠BOC的度数。(2)若三角板AOB保持不动,将三角板COD的边OD与边OA重合,然后将其绕点O顺时针旋转,某一时刻的位置如图(2)所示,试猜想在转过程中,∠AOC与∠BOD有何数量关系?请说明理由.