湖南省部分学校2024-2025学年高二上学期12月期中联考数学试题（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A B.
C. D.
3. 若函数在区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则“”是“”的（ ）
A 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
4. 设函数．已知，且的最小值为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
7. 若等比数列满足，则（ ）
A B. 1012C. D. 1013
8. 设函数，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆不可能相切
C. 直线被圆截得的弦长的最小值为6
D. 圆上一点到点的最大距离为8
10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 等差数列为单调递增数列
B. 数列递增数列
C. 有最小值
D. 存在正整数，当时，总有
11. 曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹．则下列结论正确的有（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上存在点，使得
C. 曲线上存在点，使得四边形的周长为9
D. 若点在曲线上，则面积的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的图象过原点，则________．
13. 写出与圆和圆都相切的一条直线方程________．
14. 在网络加密通信中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少3.若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为________．（结果用含的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是首项为的等比数列，各项均为正数，且．
（1）求数列通项公式；
（2）设，为数列的前项和．若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
16. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
17. 在中，内角所对的边分别为．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若，点在内，，求．
18. 已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点是抛物线上不同的三点.
（ⅰ）若直线过点，且交准线于点，求的值；
（ⅱ）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围.
19. 若是集合的非空子集，且满足，则称为级好集，级好集的个数记为．其中表示集合中元素的个数．
（1）求；
（2）已知是一个级好集，是否存在一个级好集，满足：中的元素之和中的元素之和？
（3）是否存在末位数是999的？