2022-2023学年安徽省池州市东至县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年安徽省池州市东至县九年级上学期数学期末试题及答案，共23页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
1．全卷满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】A．是一次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，故符合题意；
C．是一次函数，故不符合题意；
D．是反比例函数，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．
2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：，
，
、，
点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
B、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3. 当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
4. 如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形性质：相似三角形对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【详解】因为△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，
所以，△ADE∽△ABC,
所以， , ,
故选D
【点睛】本题考核知识点：相似三角形性质.解题关键点：熟记相似三角形性质.
5. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移规律作答即可．
【详解】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位
得到的函数关系式是
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象平移的规律，即上加下减，左加右减，熟练掌握平移规律是解题的关键．
6. 如图，一架长米的梯子AB斜靠在墙上，已知梯子底端B到墙角C的距离为米，设梯子与地面所夹的锐角为，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】在中，，，，
．
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握余弦函数的定义是解题的关键．
7. 如图，在中，点E在上，与交于点F，若，且，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得出，再利用相似三角形的性质得出的长．
【详解】解：在中，
，，
，
，
，且，
，
．
故选D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，得出是解题关键．
8. 已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据黄金比的定义得： ，得 .故选A.
9. 如图，一个小球由坡底沿着坡比为的坡面前进了12米，此时小球在竖直方向上升了（ ）
A. 4米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】设，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵，
∴设，
由勾股定理得，
，即，
解得：，
∴．
故选C．
【点睛】此题考查了坡度坡角，勾股定理，正确掌握勾股定理以及坡角的定义是解题关键．
10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②AG+DF=FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG= S△FGH．其中正确的是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF==8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
设AG=x，则GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，
∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以②正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴ ，
∴，
而，
∴，
∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．
∵S△ABG=×6×3=9，S△GHF=×3×4=6，
∴S△ABG=1.5S△FGH．所以④正确．
故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】先求出，再根据比例的性质即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
12. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，若的面积为6，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知， 的面积， 再根据图象所在象限求出k的值即可．
【详解】解：根据比例系数k的几何意义得：的面积．
∵的面积为6，
即，
解得： ，
∵函数图象位于第二象限，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查对反比例函数的性质，理解k的几何意义结合图像的象限可得出答案．．
13. 若在平面直角坐标系中，已知点和点，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出直角坐标系，标出点和点坐标，作轴于，再根据三角函数解直角三角形即可求出．
【详解】解：根据题意可画出直角坐标系，作轴于，如图所示：
∵点和点，
∴，，，
∴
在中，由勾股定理可得：
∴，
∴，
故填：．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握直角三角形的知识，正弦函数的定义是解此题的关键．
14. 如图，在矩形中，，E是边上的点，，连接，垂足为点F，连接．
（1）__________．
（2）_________．
【答案】 ①. 4 ②. ##
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得、进而得到，运用勾股定理可得，即；然后再证明可得；
（2）由可得，进而得到；如图，连接交于点H，根据垂直的定义和等量代换可得，最后在中解直角三角形即可解答．
【详解】解：∵矩形
∴，
∴
∴
∵
∴．
∴
在和
，，
∴，
∴；
（2）∵
∴
∴．
如图，连接交于点H，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：原式，
【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16. 已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴交点坐标．
【答案】（1）抛物线的对称轴直线x=，顶点坐标为（，）；（2）抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
【解析】
【分析】（1）把二次函数y=-2x2+5x-2化为顶点式的形式，根据二次函数的性质写出答案即可；
（2）令x=0可求图象与y轴的交点坐标，令y=0可求图象与x轴的交点坐标；
【详解】（1）∵y=﹣2（x2﹣x+﹣）﹣2=﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴直线x=，顶点坐标为（，）．
（2）对于抛物线y=﹣2x2+5x﹣2，
令x=0，得到y=﹣2，
令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，
解得：x=2或，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知反比例函数的图象经过点
（1）求k的值．
（2）点均在反比例函数的图象上，若，比较的大小关系．
【答案】（1）9 （2）当或时，；当时，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）可得反比例函数解析式为，进而得到反比例函数经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入到反比例函数中得，，
解得，
∴k的值为9．
【小问2详解】
解：由（1）得反比例函数解析式为，
∵，
∴反比例函数经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，
∴当或时，；当时，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为
（1）在平面直角坐标系中画出．
（2）以原点O为位似中心，在规定的平面直角坐标系中画出将三条边放大为原来2倍后的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先在平面直角坐标系中画出点A、B、C，再依次连接即可；
（2）先求出、 、的坐标，再依次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
∵，
∴．
如图，即为所求．
【点睛】本题考查了坐标系中描点，坐标与图形，坐标系中画位似图形，掌握以上知识是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，点，n为正整数．抛物线交x轴于点M与点，交x轴于点M与点，交x轴于点M与点，……按此规律，．交x轴于点M与点
（1）_______，________，________
（2）抛物线的函数表达式为________．（用含x，a的代数式表示）
【答案】（1）4；6；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线交x轴于点与，可得对称轴为直线，可得抛物线与x轴的另一个交点坐标，进一步得到的值，同理可得，一次类推可得；
（2）把与点，代入确定顶点坐标，即依此类推第n条抛物线的顶点坐标为，最后根据抛物线的顶点式即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线交x轴于点与，
∴对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴；
利用相同的方法可得，，
按此规律可得．
故答案为：4，6，．
【小问2详解】
解：∵交x轴于点与点，，
∴3，即
∴抛物线的顶点坐标为．
∴依此类推第n条抛物线的顶点坐标为
∴的解析式为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称性、顶点坐标、等腰直角三角形的性质等知识点，根据计算、归纳规律是解题的关键．
20. 某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度米，隧道最高处距路面米，矩形的宽米．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？
【答案】（1）
（2）该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）把代入解析式，求出y的值，由竖直方向上的高度差至少为0.5米可得答案．
【小问1详解】
设抛物线的表达式为，
由图可知，抛物线经过点，将其代入，得
，
解得
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
当时，
，
米．
答：该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，求得抛物线解析式是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图1所示的是一款躺椅，图2是它的侧面示意图，其中，点E，F分别在和上，现测得，最低点G到的距离为米，米，求及的长．（参考数据：，结果精确到米）
【答案】米，米．
【解析】
【分析】作于点M，延长线交于点N，过点G作于点P．在和中，解直角三角形即可求解.
【详解】解：如图，过点G作于点M，延长线交于点N，过点G作于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴米．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴米．
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
七、（本题满分12分）
22. 如图，直线与x轴交于点，与反比例函数的图像交于点，将直线绕点A逆时针旋转后与y轴交于点C，连接．
（1）求k和m的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）4，4 （2）5
【解析】
【分析】（1）将点代入求得a，进而求得直线的解析式；再把点分别代入直线的解析式即可求得m的值，进而确定k的值；
（2）如图，过点B作轴于G，由题意可知；再证明可得，进而求得的长，再运用勾股定理求得的长，最后根据三角形的面积公式即可解答．
【小问1详解】
解：将点代入，得，
将点代入，得，
∴
∴．
【小问2详解】
解：如图，过点B作轴于点G，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵点，点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴的面积．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用坐标确定三角形各边的长、证明三角形相似是解本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在四边形中，．
（1）求证：．
（2）若，点P从A点出发，以的速度沿向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以的速度沿向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为
①t为何值时，四边形的面积等于？
②是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①当或时，四边形的面积等于；②存在，或时，以B，P，Q为顶点的三角形与相似．
【解析】
【分析】（1）由可得，进而得到；再根据可得，最后根据两组对应角相等的三角形为相似三角形即可解答；
（2）①如图，过点Q作于H．由勾股定理可得；再根据可得，进而得到长；用t表示出，再证明可求得，最后根据列关于t的方程求解即可；②分和两种情况分别利用相似三角形的性质列关于t的方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：①如图，过点Q作于H．
在中，，由勾股定理，得．
∵，
∴，
∴，解得．
由题意可得．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，可得
∴
，解得，
∴当或时，四边形ACQP的面积等于．
②当时，
∴．即，解得，
当时，
∴．即，解得．
综上，或时，以B，P，Q为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四边形综合、勾股定理等知识点，掌握数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键．