2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区九年级上学期数学期末试题及答案，共23页。
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4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的定义进行判断，解题的关键在于判断中心对称图形时要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合即可得出答案．
【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；只要点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式．反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数的图象上．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
∵， ， ，，
∴只有点在反比例函数图象上．
故选：A．
3. 如图，将绕点O，按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转角的理解，利用定义从图形中准确得找出旋转角是关键．
根据绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，然后根据可以求出度数．
【详解】解：∵绕点O按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4. 如果将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是．
故选：A．
5. 在坡度的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离是6米，则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是（ ）
A. 6米B. 6.5米C. 13米D. 14.4米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡度的定义，学会利用勾股定理解决问题．根据坡度的定义，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过作于，
山坡的坡度为，株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，
水平距离米，
，
铅垂高度米，
斜坡上相邻两树间的坡面距离（米，
故选：B．
6. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过的时间（秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键．令，求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴当时，即：，解得：或，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是；
故选：B．
7. 如图，正五边形内接于，点F在上．若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理．连接，根据正五边形内接于，得出和的度数，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵正五边形内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 如图，点是（为钝角）边上一点，若，，，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是等高的两个三角形面积的比等于底与底的比．根据相似三角形的判定和性质，得和的比值，然后根据等高的两个三角形面积的比等于底与底的比即可求解．
【详解】解：，，
，
，，，
设，
，，
，
与等高，所以两个三角形面积的比是底与底的比，
，
又，
，
故选：B．
9. 已知二次函数（为常数，且），给出如下结论：
函数图象一定经过第二、三、四象限；
函数图象一定不经过第一象限；
当时，随增大而增大；
当时，随的增大而减小．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键．
【详解】由可知，
∵，
∴开口向下，与轴交点在负半轴，
∵对称轴直线，
∴顶点在第二或第三象限，
故说法错误，说法正确，
当时，随的增大而增大或减小，此说法错误；
当时，随增大而减小，此说法正确；
故正确，
故选：．
10. 在中，，，点M是的中点，点P是上一点，与相交于点N，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可得，进而得到，即可证明A；根据角之间的变换可证，设，进而表示出其他边长即可证明C、D．
【详解】解：如图，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故A正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，，，
∴，
解得：，
∴，
∴，，故C、D正确；
根据条件证不出，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，根据题意正确画出图形是关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 若，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，先得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 抛物线与轴的交点坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标．
【详解】解：当x=0时，y=x2+2=2，
所以抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
13. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧AC为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，则弧的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求弧长，先根据外心是三角形三边中垂线的交点，确定圆心的位置，勾股定理求出，，的长，勾股定理逆定理，得到，再利用弧长公式进行计算即可．解题的关键是确定圆心的位置．
【详解】解：由题意，点即为外接圆的圆心，如图所示，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长为；
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，，分别为，的中点，为边上动点，为直角三角形，点在的上方，且，．
（1）若点与点重合，则的长是_____；
（2）点运动过程中的最小值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）当点与点重合，与重合，根据勾股定理及为的中点，可求的长度，由为直角三角形，，可求的长度，
（2）当点与点重合时，设点的位置为，由，可得，求得，从而确定点的运动轨迹，根据点到直线距离垂线段最短，求出的最小值．
【详解】解：（1）根据题意作图，当点与点重合时，
，，，
，
点为的中点，
，
又，，
，
，
故答案为：；
（2）当点与点重合时，设此时点的位置为，点的位置为，连接点、，
，
，，
，即，
，
，
又，
点的运动轨迹在直线上，
分别过、作直线、的垂线，垂足分别为、，的长度即为的最小值，
，
，
，
，解得：，
，
故点运动过程中的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形内的三角函数，相似三角形的判定与性质，点到直线距离垂线段最短，解题的关键是：
（1）熟练应用勾股定理及三角函数进行求值，
（2）通过相似三角形的判定与性质，确定点的运动轨迹．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．分别把各角的三角函数值代入原式，再由实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：


．
16. 已知抛物线，请用配方法确定该抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】抛物线对称轴为直线，顶点坐标为
【解析】
【分析】本题考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标，通常有两种方法：（1）公式法；（2）配方法．
直接利用配方法求得二次函数的对称轴，顶点坐标即可．
【详解】

∴抛物线对称轴为直线，
顶点坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）．
（1）以点C为旋转中心将顺时针旋转，得到（点A，B的对应点分别为，），画出；
（2）在给定的网格中，以点O为位似中心将放大为原来的2倍，得到（点A，B，C的对应点分别为，，），画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画旋转图形，以及画位似图形，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
（1）先画出点A，B的对应点分别为，，然后连接即可；
（2）先画出点A，B，C的对应点分别为，，，然后连接即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求，
【小问2详解】
如图所示，即为所求，
18. 如图，一次函数经过点，与反比例函数图象相交于，与y轴交于点C，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式是解题的关键．
（1）将，代入，求得．可得一次函数的表达式，将，代入得，，则，将代入，计算求解可得反比例函数的表达式；
（2）当时，，即，，根据．计算求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入得，，
解得．
∴一次函数的表达式为．
将，代入得，，
∴，
将代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，，
∴．
∴的面积为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知：如图，，连接，任作一条直线l，使，设l分别交于点P，Q，R，S．
（1）若，，求的值；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质：
（1）证明，得，代入数据计算即可；
（2）根据相似三角形的性质定理可得到，，得出，进而可证出．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
又由（1）知，
∴，
∴．
20. “时代之舞，梦想领航”，合肥骆岗中央公园全向信标台成为合肥新地标．小丽同学想要通过测量及计算了解信标台的大致高度，如图1，当他步行至点A处，测得此时台顶C的仰角为，再步行20米至点B处，测得此时台顶C的仰角为（点A，B，D在同七、一条直线上），请帮小丽计算信标台的高度．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】信标台的高约为60米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．在中，由锐角三角函数定义可得，再在中，由锐角三角函数定义可得，进而可得的高度．
【详解】解：设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴，
∵，米，
∴，
解得．
答：信标台的高约为60米．
六、（本大题满分12分）
21. 如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为10
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，解直角三角形．
（1）连接，切线，得到，垂径定理，得到，等角的余角相等，推出，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，利用，求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．即平分．
【小问2详解】
解：在中，，
又，
，
解得．
与中，
∵，
∴，
解得．
∴的长为10．
七、（本大题满分12分）
22. 已知：中，点E是边上一点，交于点F，．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当为钝角时，是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据判定平行四边形是矩形，得到，结合，得到， 得到．
（2）作，交于点G，得到，根据与，得到，结合，得到， 得到 ，即得．
本题主要考查了平行四边形，矩形，相似三角形．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，添加辅助线构造相似三角形，等腰三角形性质，是解决问题的关键．
【小问1详解】
∵平行四边形中，，
∴平行四边形是矩形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
成立 ，
证明：在上取点G，连接，使，
∴．
∵，
∴．
又，
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
八、（本大题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线过点，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若与的面积分别记作，，当时，求的值；
（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S．
①当时，求S的最大值；
②当时，直接写出时t的值．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为
（2）当时，
（3）①当时，S有最大值16；②或
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据抛物线过点和，可以求出对称轴，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据点A的坐标，可以表示点D的坐标为，点E的坐标为，然后根据求出结果即可；
（3）①根据求出解析式，配方找到最大值即可；②根据分两种情况求出解析式，令求出t值即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点和，
则对称轴为，
设解析式为，把，代入得：
，解得，
∴；
【小问2详解】
解：设A的坐标为，则点B的坐标为，
又∵过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，即，
∴；
【小问3详解】
①解：
，
∴当时，最大，最大为；
②令，则，
解得：（舍去）或；
当时，
，
令，则，
解得：；
综上所述，或．