2023-2024学年河南省南阳市社旗县八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳市社旗县八年级上学期期末数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣2023B．C．0D．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2
B．40的算术平方根是20
C．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数
D．负数有立方根
3．（3分）对某校八年级（1）班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果80.5—90.5分这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在80.5—90.5分之间的频率是（ ）
A．18B．0.3C．0.4D．0.35
4．（3分）下列计算结果，正确的是（ ）
A．x12÷x6＝x2B．
C．D．（a﹣2）2＝a2﹣4
5．（3分）若（ ）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（ ）
A．aB．2aC．abD．2ab
6．（3分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①
7．（3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4B．8C．12D．16
8．（3分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，有下列说法错误的是（ ）
A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
9．（3分）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，E分别在边AB，AC上，CD．下列命题中，假命题是（ ）
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC
B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC
D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
10．（3分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
二、填空题。（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上）
11．（3分）请写出一个比小的整数 ．
12．（3分）如果等腰三角形的一个底角是50°，那么它的顶角是 度．
13．（3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
14．（3分）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D为AC上一点，则AD＝ ．
三、解答题。（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣6x2）2+（﹣3x）3•x；
（2）分解因式：x3﹣25x．
17．（9分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，分为“诵读中国”经典通读，“诗教中国”诗词讲解，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整），解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 人，统计表中C的百分比m为 ；
（2）请补全统计图；
（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．
18．（9分）某同学化简（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）的解题过程如下
解：原式＝a2+4b2﹣（a2﹣b2）（第一步）
＝a2+4b2﹣a2﹣b2（第二步）
＝3b2（第三步）
（1）该同学的解答过程从第 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．并求出当a＝时原代数式的值．
19．（9分）轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求A、B两船离开港口O一个半小时后的距离．
20．（9分）求证：全等三角形对应边上的中线相等．
我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程）
（1）要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的
条件是： ，
结论是： ．
（2）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示．
（3）结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明．
已知：如图，① ，线段AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线．
求证：② ．
证明：…
21．（9分）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．
22．（10分）阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
根据阅读材料，解决下列问题：
（1）若多项式x2﹣4x+k是一个完全平方式，则常数k＝ ．
（2）已知代数式x2-6x+11，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
23．（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PGO的依据是 （填序号）．
①SSS；
②SAS；
③AAS；
④ASA；
⑤HL．
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，OB上，且OE＝OF，D分别为射线OA，OB上的点，连接DE，CF，当∠CPE＝30°时，请直接写出∠PCO的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣2023B．C．0D．
【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：A．﹣2023是整数，故本选项不符合题意；
B．是无理数；
C．0是整数，故本选项不符合题意；
D．是分数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2
B．40的算术平方根是20
C．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数
D．负数有立方根
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根，无理数的定义逐项判断即可．
【解答】解：4的平方根是±2，则A不符合题意；
40的算术平方根是2，则B不符合题意；
如2÷3＝，它是有理数；
任何数都有立方根，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方根，算术平方根，立方根，无理数，熟练掌握相关定义是解题的关键．
3．（3分）对某校八年级（1）班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果80.5—90.5分这一组的频数是18那么这个班的学生这次数学测验成绩在80.5—90.5分之间的频率是（ ）
A．18B．0.3C．0.4D．0.35
【分析】根据频率、频数的关系：频率＝求解即可．
【解答】解：成绩在80.5—90.5分之间的频率为＝2.3．
故选：B．
【点评】本题考查频率、频数的关系：频率＝．
4．（3分）下列计算结果，正确的是（ ）
A．x12÷x6＝x2B．
C．D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【分析】根据同底数幂的除法、算术平方根、立方根、完全平方公式分别计算判断即可．
【解答】解：A、x12÷x6＝x6，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、（a﹣2）2＝a6﹣4a+4，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，算术平方根，立方根，同底数幂的除法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．（3分）若（ ）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（ ）
A．aB．2aC．abD．2ab
【分析】根据单项式乘单项式法则（或根据单项式除以单项式法则）求出答案即可．
【解答】解：2a3b÷4a2b＝a，
即括号内应填的单项式是a，
故选：A．
【点评】本题考查了单项式乘单项式法则，能熟记掌握单项式乘单项式法则是解此题的关键．
6．（3分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①
【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，
故选：D．
【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．
7．（3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．
【解答】解：由题意可得，
小正方形的边长为3﹣1＝4，
∴小正方形的周长为2×4＝4，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、有理数的加减法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，有下列说法错误的是（ ）
A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可．
【解答】解：A、、∵a：b：c＝7：24：25，
∴设a＝7k，b＝24k，
∵a3+b2＝（7k）8+（24k）2＝625k2，c2＝（25k）2＝625k2，
∴a3+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
故不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
C、∵a，b，4，10，
∴a2+b2＝c4，且a，b，c长都是正整数，
∴a，b，c是一组勾股数．
故不符合题意；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C①，
∠A+∠B+∠C＝180°②，
将①代入②得：2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键．
9．（3分）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，E分别在边AB，AC上，CD．下列命题中，假命题是（ ）
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC
B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC
D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，可得△DCB≌△EBC（ASA），故CD＝BE，判断选项B是真命题；BD＝CE，判断选项D是真命题；根据BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，得△DCB≌△EBC（SAS），有∠DCB＝∠EBC，判断选项C是真命题；不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，可判断选项A是假命题．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，
∴△DCB≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE，故选项B是真命题；
BD＝CE，故选项D是真命题；
∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DCB＝∠EBC，故选项C是真命题；
不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
10．（3分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：（2k+3）2﹣4k2
＝8k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝4（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（3k+3）2﹣6k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
二、填空题。（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上）
11．（3分）请写出一个比小的整数 4（答案不唯一） ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵42＝16，52＝25，而16＜23＜25，
∴4＜＜8，
∴比小的整数有4（答案不唯一），
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
12．（3分）如果等腰三角形的一个底角是50°，那么它的顶角是 80 度．
【分析】由已知等腰三角形的一个底角是，50°，利用等腰三角形的性质得另一个底角也是50°，结合三角形内角和定理可求顶角的度数．
【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是50°，
∴另一个底角也是50°，
∴顶角的度数为180°﹣50°﹣50°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；借助三角形的内角定理求解有关角的度数问题是一种很重要的方法，要熟练掌握．
13．（3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 ．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．
14．（3分）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 90 ．
【分析】根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝106﹣2×5＝100﹣10＝90．
故答案为：90．
【点评】本题考查了完全平方公式以及代数式求值，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D为AC上一点，则AD＝ 5 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE＝6，
在Rt△ABC中，＝＝10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝7，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE6＝AD2，
∴45+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AD＝8﹣x＝6．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．
三、解答题。（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣6x2）2+（﹣3x）3•x；
（2）分解因式：x3﹣25x．
【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后合并同类项即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：（1）（﹣6x2）5+（﹣3x）3•x
＝36x5﹣27x3•x
＝36x4﹣27x8
＝9x4；
（2）x2﹣25x
＝x（x2﹣25）
＝x（x﹣5）（x+8）．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，分解因式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（9分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，分为“诵读中国”经典通读，“诗教中国”诗词讲解，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整），解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 120 人，统计表中C的百分比m为 50% ；
（2）请补全统计图；
（3）（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．
【分析】扇形统计图及条形统计图结合进行数据计算．
【解答】解：（1）总人数＝24+20%＝120：m＝60＝120×100%＝50%：
（2）补全统计图如解图
（3）不可行．
理由：由统计表可知，70%+30%+50%+20%＞1．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
18．（9分）某同学化简（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）的解题过程如下
解：原式＝a2+4b2﹣（a2﹣b2）（第一步）
＝a2+4b2﹣a2﹣b2（第二步）
＝3b2（第三步）
（1）该同学的解答过程从第 一 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．并求出当a＝时原代数式的值．
【分析】（1）观察该同学解题过程，确定出出错的步骤即可；
（2）写出正确的解答过程，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）该同学的解答过程从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
（2）正确解答为：
原式＝a2+4ab+7b2﹣（a2﹣b7）
＝a2+4ab+8b2﹣a2+b3
＝4ab+5b8，
当a＝﹣，b＝3时）×7+5×28＝﹣4+20＝16．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（9分）轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求A、B两船离开港口O一个半小时后的距离．
【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×12＝18（海里），AO＝5.5×16＝24（海里），
故∠AOB＝90°，
∴AB＝＝30（海里），
答：A、B两船离开港口O一个半小时后的距离为30海里．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，得出∠AOB＝90°是解题关键．
20．（9分）求证：全等三角形对应边上的中线相等．
我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程）
（1）要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的
条件是： 两条线段是全等三角形的对应边的中线 ，
结论是： 这两条线段相等 ．
（2）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示．
（3）结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明．
已知：如图，① △ABC≌△A′B′C′， ，线段AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线．
求证：② AD＝A′D′ ．
证明：…
【分析】（1）根据命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项解答；
（3）根据题意写出已知和求证，证明△BAD≌△B'A'D'，根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）条件是：两条线段是全等三角形的对应边的中线，
结论是：这两条线段相等，
故答案为：两条线段是全等三角形的对应边的中线，这两条线段相等；
（3）已知：①△ABC≌△A′B′C′，
求证：②AD＝A′D′；
证明：∵△ABC≌△A′B′C′（已知），
∴AB＝A'B'，BC＝B′C′（全等三角形的对应边相等），BC＝B′C′（全等三角形的对应角相等），
∵AD，A′D′分别是△ABC和△A'B'C'中线（已知），
∴BD＝BAB′C′（中线的定义），
∴BD＝B'D'，
在△BAD和△B′A′D′中，
，
∴△BAD≌△B'A'D'（ASA），
∴AD＝A'D'（全等三角形的对应边相等），
故答案为：①△ABC≌△A′B′C′，②AD＝A′D′．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的角平分线，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
21．（9分）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．
【分析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠DBC＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴CD＝CE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
22．（10分）阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
根据阅读材料，解决下列问题：
（1）若多项式x2﹣4x+k是一个完全平方式，则常数k＝ 4 ．
（2）已知代数式x2-6x+11，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【分析】（1）先根据两平方项确定出这两个数是x和2，再根据完全平方公式求解即可；
（2）首先将原式变形为（x﹣3）2+2，根据非负数的意义就可以得出代数式的值．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+k＝（x﹣8）2，
∴k＝4，
故答案为：6；
（2）∵x2﹣6x+11＝x6﹣6x+9﹣4+11＝（a﹣3）2+5≥2，
∴当a＝3时，x3﹣6x+11的最小值是2．
【点评】本题考查了反方向的性质：偶次方，是完全平方公式的应用，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍．
23．（10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PGO的依据是 ⑤ （填序号）．
①SSS；
②SAS；
③AAS；
④ASA；
⑤HL．
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，OB上，且OE＝OF，D分别为射线OA，OB上的点，连接DE，CF，当∠CPE＝30°时，请直接写出∠PCO的度数．
【分析】（1）由HL即可得出结论；
（2）证△DOE≌△COF（SAS），得∠PEC＝∠PFD，再证△CPE≌△DPF（AAS），得PE＝PF，然后证△OPE≌△OPF（SSS），得∠POE＝∠POF，即可得出结论；
（3）连接OP，由（2）可知，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，则∠POE＝∠POF＝30°，再证∠OCP＝∠OPC，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PGO的依据是HL，
故答案为：⑤；
（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，
∴CE＝DF，△DOE≌△COF（SAS），
∴∠PEC＝∠PFD，
∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，
∴△CPE≌△DPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵OE＝OF，PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（SSS），
∴∠POE＝∠POF，
即∠POA＝∠POB，
∴射线OP是∠AOB的平分线；
（3）如图3﹣1，连接OP，
由（2）可知，OP平分∠AOB，
∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，
∵∠CPE＝30°，
∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，
∴∠OCP＝∠OPC＝（180°﹣∠POE）＝，
即∠PCO的度数为75°．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“（ ）”内打“√”
A．“诵读中国“经典诵读（ ）
B．“诗教中国”诗词讲解（ ）
C．“笔墨中国“汉字书写（ ）
D．“印记中国“印章篆刻（ ）
类别
占调查总人数的百分比
A
70%
B
30%
C
m
D
20%
小明：如图1，
（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）；
（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线L1，L2，交点为P，垂足分别为点G，H；
（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP；
所以Rt△PGO≌Rt△PGO，
则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，
（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）；
（2）连接DE，CF，交点为P；
（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．
…
“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“（ ）”内打“√”
A．“诵读中国“经典诵读（ ）
B．“诗教中国”诗词讲解（ ）
C．“笔墨中国“汉字书写（ ）
D．“印记中国“印章篆刻（ ）
类别
占调查总人数的百分比
A
70%
B
30%
C
m
D
20%
小明：如图1，
（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）；
（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线L1，L2，交点为P，垂足分别为点G，H；
（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP；
所以Rt△PGO≌Rt△PGO，
则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，
（1）分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF（点C，E不重合）；
（2）连接DE，CF，交点为P；
（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．
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