2025届上海市长宁区高三一模数学试卷和答案

这是一份2025届上海市长宁区高三一模数学试卷和答案，共10页。
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 设全集为，集合，则_______.
2. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是_______（结果保留）.
3. 曲线在点处的切线方程是_______.
4. 以为圆心，为半径的圆的标准方程是________.
5. 投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为的概率是_______.
6. 的二项展开式中的常数项是_______.
7. 已知，函数的大致图像如图所示，则_______.
8. 已知向量，，则向量在方向上的投影的坐标是_______.
9. 已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.
10. 若正实数、满足，则的最小值是_______.
11. 设为坐标原点，从集合，2，3，4，5，6，7，8，中任取两个不同的元素、，组成、两点的坐标、，则的概率为_______.
12. 点、、分别位于正方体的面上，，则的最小值是_______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知复数和，则下列说法正确的是……………………………………………………（ ）
14. 已知非零空间向量、和，则下列说法正确的是…………………………………………（ ）
已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是………（ ）
A.； B.； C.； D..
数列为严格增数列，且对任意的正整数，都有，则称数列满足“性质”.
①存在等差数列满足“性质”；
②任意等比数列，若首项，则满足“性质”；
下列选项中正确的是………………………………………………………………………………（ ）
A. = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是真命题； B. = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是假命题；
C. = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是真命题； D. = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是假命题.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，的面积为，请判断的形状，并说明理由.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
如图所示，四棱柱的底面是正方形，是底面的中心，平面，.
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第①问满分4分，第2小题第②问满分6分）.
2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.
（1）求所抽取的“青年人”的人数；
（2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.
①简述如何采用抽签法任选2人；
②设事件：2人均为“中年人”，事件：2人中至少有1人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由.
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）点为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点的坐标；
（3）、、、是椭圆上不重合的四个点，与相交于点，且，求的取值范围.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
双曲余弦函数，双曲正弦函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若函数在上的最小值是，求实数的值；
（3）对任意，恒成立，求实数的取值范围.
ADDIN CNKISM.UserStyle2024学年第一学期高三数学教学质量调研试卷
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.； 2.； 3.； 4.； 5. ； 6. ；
7. ； 8. ； 9. ； 10. 9； 11. ； 12. ；
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. A 14. D 15. A 16. B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
（1）由正弦定理可得…………………………………………2分
因为，所以…………………………………………………………2分
所以………………………………………………………………………………2分
（2）
所以………………………………………………………………………………2分
由余弦定理，得……………………………2分
即，解得，
所以是等边三角形……………………………………………………………4分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
（1）因为是正方形，所以，,
因为底面，所以是在平面上的投影,
所以……………………2分
由，，底面，
可得，，
所以，即有……………………………………………………2分
因为,所以
所以平面.……………………………………………………………………2分
（2）设点到平面的距离为,
……………2分
所以………………………………4分
得直线与平面所成角的正弦值……………………………………2分
方法2：（建系）
以为原点，射线、、为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
可得、、
则，，……………………………………2分
从而可知平面的一个法向量为……………………………………………2分
所以直线与平面所成角的正弦值
…………………………………………………4分
19．本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第①问满分4分，第2小题第②问满分6分）.
（1）
解得：……………………………………………………………………………2分
所以所抽取的“青年人”人数为80………………………………………………………2分
先将10名参会者进行编号：1、2、……10，并将10个号码写在完全相同的纸片上，放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人。
……………………………………………4分
（知道要编码2分，充分混合均匀随机抽2张或者依次抽两张2分）
（3）“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为
所以10人中“中年人”共有5人，
2人均为“中年人”的概率,
2人中至少有1人为男性的概率………………………………………2分
2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率…………2分
因为,所以事件A与事件B不独立.……………………………2分
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
（1）椭圆方程为…………………………………………………………………2分
所以……………………………………………………………………………2分
（2）①，直线的解析式为………………………………………2分
因为的面积为3，所以边上的高为
过做的平行线，则直线的解析式为……………………………2分
联立方程组 ，
解得：，
所以点的坐标为，……………………………………………2分
（3）①若或垂直于轴，则………………………………………1分
②若和不垂直于轴，
设直线的解析式为，点，
联立方程组 ，得
从而，…………………………………………………4分
同理
因为，所以……………………………………3分
综上，的取值范围是
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
（1）
令，解得…………………………………………………………2分
当时，
所以函数的单调增区间是………………………………2分
（2）
令，，
所以在上是严格增函数，
得，当时，
……………………………………………………2分
时，严格增，，舍去，…………………………………2分
时，，所……………………………………………2分
（3）①证明
令，
所以在上单调增，则………………………2分
②证明
令，，，
令，为偶函数
令
则当时，
所以，从而单调增
又，所以时，；时，
所以在单调减，在单调增，
从而
即有…………………………………………………………………4分
③再证明对任意的，都存在，使得
令，，，
令，为偶函数
令
则当时，，
所以单调增
由于，所以，
(由于是偶函数，以下只考虑时)
所以存在，使得
从而当时，；时，
所以时，单调减；时，单调增；
又，时，，
所以存在，使得
即有当时，；时，
所以时，单调减；时，单调增；
又，时，，
所以存在，使得，则，当时，，
综上.………………………………………………………………………………2分
（注：1.直接写出答案……2分）
方法二：
常用泰勒展开
时，不等式成立，…………2分
时，
所以…………4分
从而.…………2分
方法三：令，则为偶函数，
A.一定是实数；
B.一定是虚数；
C.若，则是纯虚数；
D.若，则是纯虚数.
A. 若，，则；
B. 若，，则；
C. 若，，则；
D. 若，，则.