华东师大版（2024）八年级上册第12章 整式的乘除12.5 因式分解学案

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1、分组分解法：适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2+a-b中没有公因式，又不能直接利用公式分解。但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组，再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例1分解因式：
a2-b2+a-b =（a2-b2）+ （a-b）
=（a+b）（a-b）+（a-b）
=（a-b）(a+b+1)
⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原则：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
练习： 把下列多项式分解因式
⑴a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n
⑷3ax+4by+4ay+3bx ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c2+2bc
⑺x2-2x+1-y2 ⑻x2-y2-z2-2yz ⑼a2+2ab+b2-ac-bc
2、十字相乘法
二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中若能把常数项q分解成两个因式a,b的积，且a+b等于一次项系数中的p，则就可以分解成
x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
㈠x2+(a+b)x+ab型式的因式分解
注意：此公式的三个条件要理解
·二次项系数是1
·常数项是两个数之积。
·一次项系数是常数项的两个因数之和。
㈡ 对于x2+（a+b）x+ab
=（x+a）（x+b）
例如 x2+3x+2因式分解
解：∵2=1×2且3=1+2
∴x2+3x+2=(X+1)(X+2)
此方法称为十字相乘法
十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:
★常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们的符号与
一次项系数符号相同。
★常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的
因数的符号与一次项系数的符号相同。
例2把下列多项式分解因式
x2+9x+14 ②x2+8x+12 ③ x2-7x+10
④x2-2x-8 ⑤x2-x-12 ⑥x2-9x-22
⑦x2-4x-21 ⑧x2+4xy-21y2 ⑨x2+5x-6
3.本节达标测试：
5.若x2-px+q=(x+a)(x+b),则p=( )
A ab B a+b C -ab D –(a+b)
6.若x2+(a+b)x+5b=x2-x-30,则b=( )
A 5 B -6 C -5 D 6
7.多项式x2-3x+a可分解为（x-5）（x-b）,则a,b的值分别为（ ）
A 10，-2 B -10， 2 C 10，2 D -10，-2
8.不能用十字相乘法分解的是（ ）
A x2+x-2 B 3x2-10x+3 C 5x2-6xy-8y2 D 4x2+x+2
9.下述多项式分解后，有相同因式（x-1）的多项式有（ ）个
①x2-7x+6 ② 3x2+2-1 ③x2+5x-6 ④ 4x2-5x-9 ⑤x4+11x2-12
A 、 2 B 、 3 C 、4 D 、 5
若m2-5m-6=(m+a)(m+b)，求a，b的值。
11.若x-y=6, xy=,则代数式x3y-2x2y2+xy3的值为？
12.已知x+y=2, xy=a+4 ，x2+y2=1 求a的值,