2024-2025学年江西省鹰潭市余江一中高三（上）第三次模拟数学试卷（11月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省鹰潭市余江一中高三（上）第三次模拟数学试卷（11月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U={2,4,6,8,10}，A={2,4}，B={4,6}，则∁U(A∪B)=( )
A. {4}B. {2,4}C. {8,10}D. {2,4,6}
2.若复数a+2i1−i在复平面内所对应的点在实轴上，则实数a=( )
A. 2B. −2C. 1D. 0
3.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.已知数列{an}满足a1=2，an+1an=an−1，则a32=( )
A. 12B. 2C. 3D. −1
5.已知a>0，b>0，且ab−4b+1=0，则1a+9b的最小值是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)+t(ω>0)图象的两相邻对称轴之间的距离为π2，若存在x1，x2∈[0,π2]，使得2f(x1)≤f(x2)成立，则t的最大值为( )
A. −4B. −2C. 4D. 2
7.已知函数f(x)=ex−ax,x>0−x2+(a−4)x+4a,x≤0，若关于x的不等式f(x)≥0的解集为[−4,+∞)，则a的取值范围为( )
A. (−∞,e2]B. (−∞,e]C. [0,e2]D. [0,e]
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BC=4 33,CD=2 33，点E是线段BC上的一点，且BE=3EC，点P是线段AD上的一点，则PB⋅PE的最小值为( )
A. 1718
B. 1516
C. 1314
D. 1112
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，m都是负数，且a0)的焦点为F，P(x0,y0)是C上一点且|PF|2−|PF|=x02+x0，直线l经过点Q(−8,0)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)①若l与C相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若l与C在第一象限内的两个不同交点为A，B，且Q关于原点O的对称点为R，证明：直线AR，BR的倾斜角之和为π．
19.(本小题17分)
高斯(Gauss)是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称.用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，如[2.1]=2，[−1.3]=−2，已知函数G(x)=14[(−1)[x]+1+1]([x]+1)．
(1)证明：2G(x)⩽ex；
(2)已知函数g(x)=lg2024(x+1)a+2023−G(x)，命题p：∃x0∈(0,2024)，使得g(x0)⩽0成立；命题q：g(x)在区间(4050,4052)上有零点.若p，q中至少有一个是真命题，求正实数a的取值范围；
(3)定义：函数f(x)的定义域为D，函数F(x)=[f(x)]，若存在x0∈D，使得F(x0)=f(x0)，则称点A(x0,F(x0))为函数F(x)的一个高斯点.记φ(x)=ex上的第n个高斯点和第n+1个高斯点连线的斜率为kn，证明：(kn+1−kn)22 2，
所以kAR+kBR=4y1y12−32+4y2y22−32=4(y1+y2)(y1y2−32)(y12−32)(y22−32)=0，
即直线AR，BR的倾斜角之和为π．
19.解：(1)证明：令[x]+1=t，t∈Z，当t为偶数时，2G(x)=t，当t为奇数时，2G(x)=0，
所以对任意x∈R，2G(x)≤[x]+1，所以2G(x)≤[x]+1≤x+1，
设ℎ(x)=ex−x−1，导函数ℎ′(x)=ex−1，
当x>0时，导函数ℎ′(x)>0，当xf(0)=2023，
根据第一问知2G(x)≤[x]+1≤x+1，所以函数G(x)≤12x+12，
所以函数G(x)≤20252，在x∈(0,2024)上恒成立，所以G(x)0在x∈(0,2024)恒成立．
因此命题p为假命题，又由于p，q中至少有一个为真命题，所以命题q为真命题，
q可转化为G(x)与函数f(x)在(4050,4052)上至少有一个交点，
根据第一问知：当[x]=2k(k=0,1,2,3,⋯)时，函数G(x)=0，
当[x]=2k+1(k=0,1,2,3,⋯)时，函数G(x)=12([x]+1)，
所以函数G(x)在[4051,4052)上的值为2026，在(4050,4051)上的值为零，
因此f(4051)≤2026,f(4052)>2026,所以a∈(3lg20244053,3lg20244052]．
(3)证明：分析可得第n+1个高斯点的坐标为An+1(ln(n+1),n+1)，
第n个高斯点的坐标为An(lnn,n)，
所以kn=1lnn+1n,1kn=lnn+1n，要证明原不等式，只需证明(kn+1−knkn+1kn)2